Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ограниченные множества. Предельные точки

Шары в метрическом пространстве.

 

Def: Шаром S (a, r) в метрическом пространстве Х с центром в точке а радиуса r называется множество всех элементов х Î Х удовлетворяющих условию r(a, x) < r: S (a, r) º { x Î X ½r(a, x) < r }.

Def: Множество элементов Х называется ограниченным, если оно целиком принадлежит некоторому шару.

. Сходящаяся последовательность ограничена.

◀ Пусть lim xn = х 0. Тогда "e > 0 $ N " n > N xn Î S (x 0, e). Рассмотрим S (х 0, r), где r = max{r(х 1, х 0), r(х 2, х 0), …, r(хn, х 0), e} + e. Ясно, что " n > N xn Î S (x 0, r), т.е. последовательность { xn } ограничена. ▶

Def: Если дано М Ì Х, то элемент х Î Х называется предельной точкой или точкой сгущения множества М, если " S (х, e) $ х 1Î М, х 1х такой, что х 1 Î S(х, e).

Def: Множество М с присоединенными к нему всеми предельными точками называется замыканием множества М и обозначается .

Def: Множество М называется замкнутым, если М =.

Рассмотрим предельные точки шара S (a, r) и покажем, что все они удовлетворяют требованию r(a, x) £ r. Допустим, что х¢ предельная и r(a, ) > r. Тогда в окрестности точки х¢ радиуса 0,5[r(a, ) – r ] нет ни одной точки шара S (a, r) т.е. х¢ не предельная. Множество (a, r) º { x Î X ½r(a, x) £ r } называется замкнутым шаром.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Предел последовательности. Вектор х0 метрического пространства Х называется пределом последовательности {хn} элементов х1, х2, из Х | Полнота метрических пространств
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 378; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.