Квадратичная форма

Если в билинейной форме j(х, у) положить у = х, то получим частный случай билиней­ной формы – квадратичную форму j(х, х).

Представив билинейную форму j(х, у) в виде суммы симметрической и антисимметри­ческой билинейных форм, получим:

.

Отсюда, ясно, что каждой билинейной форме однозначно ставится в соответствие квадратичная форма (ее матрица симметричная), но не наоборот. Т.е., в общем случае, по имеющейся квадратичной форме нельзя однозначно восстановить билинейную форму, из которой она получена. НО …

2°. Для каждой квадратичной формы существует, и при том только одна, симметричная били­нейная форма, из которой получена данная квадратичная форма. (Эта симметричная били­нейная форма называется полярной к заданной квадратичной форме).

◀ j(х + у, х + у) = j(х, х) + j(у, х) + j(х, у) + j(у, у) если j(х, у) = j(у, х), то

j(х + у, х + у) = j(х, х) + 2j(х, у) + j(у, у), т.е. j(х, у) ={j(х + у, х + у) – j(х, х) – j(у, у)}. ▶

§3. Классификация квадратичных форм

а) Если rang A = n (А – матрица квадратичной формы, n – размерность пространства V), то форма j(х, х) (и форма j(х, у)) называется невырожденной.

б) Форма называется положительно (отрицательно) определенной, если " х ¹ q j(х, х) > 0 (j(х, х) < 0). Такие формы называются знакопостоянными.

в) Если " х ¹ q j(х, х) ³ 0 (или j(х, х) £ 0) то, форма j(х, х) называется квазизнакопостоянной.

г) Если $ х ¹ 0 и $ у ¹ 0 такое, что j(х, х) > 0 и j(у, у) < 0, то форма j(х, х) называется знако­пе­ременной.

3°. Если форма j(х, у) полярная к форме j(х, х) и j(х, у) положительно определена то j(х, у) – задает в V скалярное произведение.

Доказать самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-11