Сферическая система координат

Сферическими координатами точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz называется тройка чисел ρ, φ, θ, где ρ - длина радиус-вектора проекции точки М, φ - угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Оxy и осью Ох, θ – угол отклонения радиуса- вектора от оси Оz (рис. 20).

z

М

r

θ

0 φ x

	Рис. 20

y

Связь координат произвольной точки М пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

()

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам.

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем якобиан:

Окончательно получаем:

, где

, , , .

Замечание: переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы в сферических координатах имеет вид ) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид .

Пример: найти объем шара (рис. 21)

Решение: найдем 1/8 объема (часть шара, расположенную в первом октанте). Переходим в сферическую систему координат. Уравнение шара в сферической системе координат – ρ=R.

Вычисляем три интеграла:

, , .

. Окончательно, объем шара куб.ед.

Дата добавления: 2014-01-11