Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды

Знакочередующимся рядом называют ряд вида

(4.3.1)

для всех ).

Другими словами: знакочередующийся ряд – ряд, в котором положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно.

Теорема 6 (признак Лейбница): Знакочередующийся ряд (4.3.1) сходится, если

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

(4.3.2)

2) общий член ряда стремится к нулю

(4.3.3)

При этом сумма S ряда (4.3.1) удовлетворяет неравенствам . (4.3.4)

Замечание: теорема Лейбница справедлива, если неравенства (4.3.2) выполняются, начиная с некоторого номера N.

Ряды, для которых выполняются условия (4.3.2) и (4.3.3) называются лейбницевскими.

Соотношение (4.3.4) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую допускают, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример: вычислить приблизительно сумму ряда

Данный ряд лейбницевского типа.

- ряд сходится по признаку Лейбница.

Можно записать

Возьмем пять членов, т.е. заменим S на , получим

.

Ошибка, которую делаем меньше, чем

Вычислить сумму данного ряда с точностью 0,01.

Дата добавления: 2014-01-11