Спектры сигналов и частотные характеристики ЛДЗ

Методы частотной области

Для упрощения исследования свойств ЛДЗ и их соединений из временной и комплексной областей переходят в частотную область. При этом вместо сигналов, описываемых функциями времени рассматриваются их частотные спектры, а вместо передаточных функций ЛДЗ – их частотные характеристики.

Комплексным спектром F (j w) непрерывного сигнала f (t) называют его одностороннее преобразование Фурье: F (j w) = F (p)| _{p = j w}. Здесь w - вещественная переменная, имеющая физический смысл круговой (циклической) частоты гармонических колебаний. При этом M_f (w)= | F (j w)| - амплитудный, а j _f (w)=arg F (j w) – фазовый спектры сигнала. Для ЛДЗ с передаточной функцией W (p) связь комплексных спектров выходного y (j w) и входного u (j w) сигналов, очевидно, имеет вид y (j w)= W (j w) u (j w). Отсюда следует связь их амплитудных и фазовых спектров:

M_y (w)= | W (j w)| M_u (w); j _y (w)=j _u (w) + arg W (j w).

Зависимость M (w) = | W (j w)| = M_y (w)/ M_u (w) – это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а j(w) = j _y (w)- j _u (w) - фазовая частотная характеристика (ФЧХ) ЛДЗ. Обе эти характеристики имеют простой и понятный физический смысл, что позволяет определять их экспериментально.

Пусть u (t)= A_u sin w t. Тогда ; p ₁= j w; p ₂= - j w;

Найдем вынужденную составляющую выхода ЛДЗ при гармоническом входе:

,

где ;

.

Но так как W (j w)= M (w) e^{j j(w)}, а W (- j w)= M (w)e^{- j j(w)}, то

.

Отсюда следует, что M (w)= A_y / A_u, j(w)=j _y. Если звено устойчивое, то для определения значений АЧХ и ФЧХ на частоте w нужно подать на его вход гармонический сигнал с амплитудой A_u. Затем на участке установившихся колебаний выходного сигнала, измерить их амплитуду A_y и сдвиг по времени D t относительно колебаний входа (например, отрезок времени между соседними точками перехода графиков через ноль). Тогда j _y =±wD t. Знак «минус» соответствует сдвигу графика выходных колебаний (относительно входа) в сторону возрастания t.

С неустойчивым звеном такой непосредственный эксперимент по определению частотных характеристик невозможен. Однако если такое звено работает в составе некоторой устойчивой системы, то в установившемся (вынужденном) режиме гармонических колебаний этой системы можно произвести аналогичные измерения амплитуд колебаний выхода (A_y) и входа (A_u) неустойчивого звена, а также их временного сдвига D t.

Дата добавления: 2014-01-11