Основные правила дифференцирования

Уравнение нормали к графику функции одной переменной

Уравнение касательной к графику функции одной переменной

y – y ₀ = f¢ (x ₀)(x – x ₀), где y ₀ = f (x ₀),

f¢ (x ₀) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x)

в точке (x ₀ , y ₀).

, где – угловой коэффициент нормали к графику функции y = f (x) в точке (x ₀ , y ₀), – вектор нормали.

Пусть u = u (x), v = v(x), u ₁ = u ₁(х), u ₂ = u ₂(х),..., u_n = u_п (х) – дифференцируемые функции. Тогда имеют место равенства:

1. Производная постоянной:

(С) ¢ = 0, С – const,

2. Производная суммы и разности:

(u ₁ ± u ₂ ±... ± u_n) ¢ = u ₁ ¢ ± u ₂ ¢ ±... ± u_n¢

3. Производная произведения:

(uv) ¢ = u¢v + uv¢ 3´. (Сu) ¢ = Сu¢ (следствие п.3)

4. Производная частного:

4´. (следствие п.4)

5. Производная сложной функции:

Пусть y = f (u), u = j (x). Тогда [ f (j (x)) ]¢ = f¢_u (и) × j¢ (x) или y ¢ _x = y¢_u× u¢_x.

6. Производная обратной функции:

Если для дифференцируемой функции y = f (x) существует обратная функция x = j (y), то .

Производные основных элементарных функций приведены в таблице 4.3 (см. Приложения).

Теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема (Правило Лопиталя) Пусть функции f (х), g (х) – непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х = а и обращаются в нуль в этой точке, т.е. f (а) = g (а) = 0. Тогда, если существует , то существует и , причем =.

З а м е ч а н и е. Правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределенности вида . Некоторые виды неопределенностей также можно свести к использованию правила Лопиталя:

1) Рассмотрим , где , . Неопределенность вида 0·∞ можно свести к неопределенности вида или, представив произведение f (х) ·g (х) в одном из следующих видов:

или .

2) Рассмотрим , где , .

Неопределенность вида 1^¥ (после проведения преобразований ) сводится к неопределенности вида 0×¥.

Аналогично, неопределенности вида ¥⁰, 0⁰ сводятся к неопределенности вида 0×¥.

2. Теорема Ферма.

Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную и в некоторой точке x = c внутри промежутка достигает наибольшего (наименьшего) значения, то f¢ (c) = 0.

3. Теорема Лагранжа. (Формула конечных приращений)

Если функция f (x) непрерывна на [ a, b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри [ a, b ] найдется, по крайней мере, одна такая точка c, a < c < b, что выполняется равенство

f (b) – f (a) = f¢ (c)(b – a).

Если формулу Лагранжа записать в виде: , где левая часть – тангенс угла наклона секущей, а правая часть – тангенс угла наклона касательной, то получаем геометрический смысл теоремы Лагранжа: найдется такая точка с, в которой касательная будет параллельна секущей.

Рисунок 1.3.1

Дата добавления: 2014-01-11