Лекция 5. Первообразная и неопределенный интеграл

Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных

Содержание лекции: Первообразная, неопределённый интеграл, таблица интегралов. Правила и методы интегрирования. Метод подстановки. Интегрирование по частям.

Цели лекции: ввести понятие неопределенного интеграла, изучить его свойства и некоторые правила и методы интегрирования.

◙ Функция F (x) – называется первообразной от функции f (x) на [ a, b ], если F ¢(x) = f (x) " x Î[ a, b ]

Пример.

f (x) = х² – частные случаи общего вида первообразной: (C – const).

Теорема. Если F ₁(x), F ₂(x) – первообразные от f (x) на [ a, b ], то

F ₁(x) – F ₂(x) = С, (C – const).

◙ Если F (x) – первообразная для f (x), то выражение F (x) + С называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается .

Таким образом, по определению,

если F ¢(x) = f (x).

При этом f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, – знак интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл – семейство функций y = F (x) + C.

? Для всякой ли функции f (x) существуют первообразные?

З а м е ч а н и е. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

◙ Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием функции f (x).

Дата добавления: 2014-01-11