Формула Грина для многосвязной области

Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным x, y в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда

D

Соединим контуры линиями AB, CD, EK. По формуле Грина для односвязной области криволинейные интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA равны двойным интегралам для верхней Dверх и нижней Dнижн областей. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях

=

=

Складывая интегралы, получим

=.

Отсюда имеем

= . Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.

Следствие 1. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал и n=1.

Тогда. Поэтому, если в какой-либо точке нарушается непрерывность функций, P, Q или их частных производных, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку (мы получим один и тот же результат).

Следствие 2. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, , а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы . Докажите это самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-11