Основные характеристики нечетких множеств

Примеры записи нечеткого множества

Понятие нечеткого множества

Во многих прикладных задачах, решаемых с помощью теории множеств, бывает сложно однозначно и четко ограничить набор элементов, принадлежащих данному множеству, т.к. возникает противоречие между формальной природой математики и привычкой человека мыслить неопределенными, расплывчатыми понятиями. (Куча камней это сколько штук? 5 слонов – это много, 10 муравьев – это мало и т.д.). Введением понятия нечеткого множества удалось в определенной мере преодолеть это противоречие.

Пусть Е – универсальное множество, x – элемент E, а Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяется как множество упорядоченных пар

A = {m_A(х) | x }, (1)

где m_A(х) – характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар вида (1) где m_A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения уже в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [ 0, 1 ]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = { 0, 1 }, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть E= {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [ 0, 1 ]; A – нечеткое множество, для которого m_A(x ₁) = 0,3; m_A(x ₂)=0; m_A(x ₃)=1; m_A(x ₄)=0,5; m_A(x ₅)=0,9. Тогда A можнопредставить в виде:

A = { 0,3 / x₁; 0 / x₂; 1 / x₃; 0,5 / x₄; 0,9 / x₅ }

или

A = 0,3/x₁ È 0/x₂ È 1/x₃ È 0,5/x₄ È 0,9/x₅,

или

A =

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
0,3			0,5	0,9

Пусть M = [ 0, 1 ] и A – нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

Величина называется высотой нечеткого множества A(sup F(x) – точная верхняя граница функции F(x)). Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (=1). При < 1 нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если "xÎE m_A(x) = 0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством m _A (x) > 0.

Дата добавления: 2014-01-11