Примеры моделей сигнала и шума

Напряжение теплового шума резисторов вычисляется следующим образом:

, (14.1)

где – постоянная Больцмана,;

– термодинамическая температура, в градусах Кельвина;

– сопротивление резистора, в Ом;

– ширина полосы частот, в Гц.

Пример [[3], c.77-81]. При выборе коэффициента шума F_RX приемника следует ориентироваться на параметр «С» уровня внешнего шума Fex (рисунок 14.2). Если F_RX = Fex, получается минимальный уровень шума на выходе, который на 3 дБ выше, чем в отсутствие внешнего шума, т. е. следует выбирать F_RX ≈ Fex – 3 дБ; при этом необходимо учитывать затухание антенных кабелей как дополнительной составляющей F_RX. Так как сигналы на Земле обычно принимаются в диапазоне атмосферного теплового шума с температурой Тех ≈ 290К ≈ 17 °С ≈ Fex ≈ 3 дБ, то значения F_RX ниже этого порога вряд ли имеют смысл. Исключением является космическая радиосвязь в относительно малошумящем диапазоне > 200 МГц при оптимальном выборе направления антенн; в данном случае необходимо определять F_RX в соответствии с параметром «G» (см. рисунок 14.2), но практически коэффициент F_RX должен быть как можно меньше.

Рисунок 14.2 – Средняя загрузка частотного диапазона 0,3 … 300 МГц различными составляющими внешнего шума.

В 50-омной технике присоединительные импедансы каскадов равны 50 Ом. Тогда в соответствии с формулой (14.1) учитывая, что при на нагрузке напряжение шумов делится пополам, при температуре 290 К, полосе 1 Гц и сопротивлении 50 Ом, напряжение шумов будет равно:

.

Соответственно мощность шума (атмосферного теплового шума) будет равна:

.

Шум – величина случайная, описывается законом распределения, как правило, нормальным:

, (14.2)

где – среднеквадратическое (СКО) отклонение шума.

Условие нормировки плотности распределения вероятностей:

. (14.3)

В случае детерминированного сигнала аддитивная смесь сигнала и шума описывается следующим образом:

. (14.4)

где – среднее значение сигнала.

Рисунок 14.3 – Обнаружение детерминированного сигнала на фоне шума с нормальным распределением

Вероятность правильного обнаружения будет выражаться следующим образом:

. (14.5)

Вероятность ложной тревоги будет выражаться следующим образом:

. (14.6)

Часто, в радиолокации и системах радиосвязи используют Рэлеевский закон распределения амплитуды и равномерный законе распределения фазы. Амплитуда отраженного сигнала в радиолокации флуктуирует по закону Рэлея. Экспериментальные исследования медленных замираний сигналов в радиолиниях, использующих ионосферное или тропосферное рассеяние показывают, что замирания в таких линиях также подчиняются закону Рэлея и имеют квазистационарный характер на временных интервалах порядка несколько минут [[4]].

, (14.7)

где – амплитуда отраженного сигнала;

– СКО амплитуды отраженного сигнала.

, (14.8)

где – фаза отраженного сигнала;

Рисунок 14.4 – Распределение вероятностей амплитуды и фазы отраженного сигнала: а) распределение Рэлея; б) равномерное распределение

Модель случайных точек.

Любой сигнал можно характеризовать набором параметров, каждый из которых принимает значения в соответствующих диапазонах. В такой многопараметрической модели все случайные точки (сигналы) располагаются внутри n-мерного прямоугольного параллелепипеда, ребра которого. Каждый отдельный сигнал в таком параллелепипеде отображается точкой с координатами.

Рисунок 14.5 – Многопараметрическая модель случайных точек

Например, если радиообстановка в данной точке пространства характеризуется числом излучений с параметрами, лежащими в указанных диапазонах, то в параллелепипеде будет отмечено точек, каждая из которых имеет свои координаты, и, в общем случае, координаты каждой точки случайны и заполнение параллелепипеда неравномерно.

Для большинства практических случаев параметры независимы друг от друга, поскольку:

1) Как правило, параметры (несущая частота, направление прихода радиоволн, поляризация и т.д.) независимы по своей физической природе, по методу их формирования при передаче и обработки при приеме;

2) Диапазоны в основном считаются узкими. За критерий узости принимаем выполнение неравенства,. В этом случае связь между параметрами ослабляется, и параметры можно считать независимыми. Тогда:

, (14.9)

где – одномерная плотность распределения вероятности параметра.

Тогда в прямоугольном параллелепипеде можно выделить малый объем, который охватывает точку с координатами. По каждой из осей малый объем занимает отрезок. А сам объем равен:.

Тогда сам объем можно представить как некоторую обобщенную полосу пропускания -мерного фильтра, состоящего из фильтров по отдельным параметрам с полосой пропускания. Для простоты положим, что все фильтры идеальны в том смысле, что их характеристики избирательности имеют прямоугольную форму. Объем в этом случае имеет смысл обобщенной полосы прозрачности, для которой можно применить распределение Пуассона:

, (14.10)

где – среднее число сигналов в объеме.

В данном случае:

. (14.11)

Подставим в (14.10) соответственные выражения:

. (14.12)

Тогда вероятность того, что в объеме не будет ни одного источника излучения будет выражаться следующим образом:

. (14.13)

Вероятность того, что в объеме будет только один источник излучения:

. (14.14)

Вероятность того, что в объеме будет не более одного источника излучения:

. (14.15)

С практической точки зрения эти вероятности могут иметь большое значение. Если под шириной обобщенной полосы пропускания понимать ширину полосы пропускания -мерного фильтра радиоприемного устройства, то формула для может пригодиться при оценке электромагнитной совместимости, а выражение для – при изучении возможности выделения только одного сигнала из некоторой совокупности сигналов, представленных системой случайных точек в -мерном пространстве.

Пример. Рассмотрим одномерный пример построения и использования модели по несущей частоте, считая ее независимым параметром данной радиообстановки.

Пусть дано некоторое распределение, составленное по правилам математической статистики на основе выборки из сигналов (рис. 3.3). Вероятность, с которой сигналы будут находиться в полосе, если и кривая будет относиться к числу гладких кривых, может быть рассчитана как произведение. Тогда среднее число сигналов в полосе найдем по формуле (3.9):. Вероятность того, что в полосе будет не более одного сигнала,.

Рисунок 14.6 – Распределение выборки из сигналов

Модель абсолютно черного тела (АЧТ).

Закон Планка характеризует спектральное распределение мощности излучения идеального излучателя (АЧТ) для малого интервала длин волн Δl в зависимости от термодинамической температуры Т и длины волны l.

Спектральная плотность (интенсивность) светимости идеального излучателя в пределах полусферы в интервале длин волн от l до l + Δl и термодинамической температуры Т выражается следующим образом:

. (14.16)

где C₁=2ph^.c² = 3,74^.10^-16 Вт/м²;

C₂=hc/k = 1,44^.10⁴ К^.мкм;

h=6,63^.10^-34 Дж^.с (Постоянная Планка);

c=3^.10⁸ м/с;

k=1,38^.10^-23 Дж/К (Постоянная Больцмана).

Закон Стефана-Больцмана характеризует суммарную энергетическую светимость АЧТ при термодинамической температуре Т.

, (14.17)

где s=5,67^.10^-12 Вт/(см² К⁴) (Постоянная Больцмана).

Закон смещения Голицына-Вина. Длина волны, соответствующая максимуму энергии излучения АЧТ пропорциональна его термодинамической температуре, и определяется по формуле:

l_max=2898/T, (14.18)

где l_max выражено в мкм, а T – в градусах Кельвина.

Следует отметить, что закон смещения Голицына-Вина кроме определения l_max дает нам еще два важных момента: во-первых, l_max является важной характеристикой, характеризующей распределение энергии излучения АЧТ, так до l_max приходится около 25% энергии, излучаемой АЧТ. Таким образом, можно сказать, что основная часть энергии (75%) излучается АЧТ или “серым” излучателем на длинах волн, больших l_max. И, во-вторых – спад кривой в области более длинных волн относительно l_max происходит более плавно и медленно, чем в области более коротких волн.

Примерный ход кривой излучения АЧТ показан на рисунке 14.7, а зависимость l_max от термодинамической температуры – на рисунке 14.8, при этом для большего удобства шкала температур Кельвина переведена в шкалу температур Цельсия.

Рисунок 14.7 – Излучение АЧТ и распределение энергии излучения относительно l_max

Рисунок 14.8 – Зависимость l_max от термодинамической температуры,
пересчитанной в градусы Цельсия

Спектральная плотность светимости на длине волны максимума излучения равна:

M_elmax=a^.T⁵, (14.19)

где a=1,29^.10^-15 Вт/(см²К⁵).

При длинах волн, больших ~ 4 мкм, относительные спектральные энергетические яркости излучения наземных фонов и абсолютно черного тела с такой же температурой достаточно хорошо совпадают. Это собственное излучение фона, как и отраженное, сильно поглощается атмосферой и только в окнах прозрачности оказывает мешающее действие на работу оптико-электронных систем.

Флуктуации инфракрасного излучения наземных фонов обусловлены временными и пространственными градиентами как собственного, так и отраженного оптического излучения, которые, в свою очередь, зависят от температуры, коэффициентов излучения и отражения, положения и структуры объектов, входящих в фоновое образование, условий наблюдения и т.п.

Для того чтобы из этих абстрактных величин получить конкретные характеристики излучений, необходимо знать два коэффициента: el(l) – коэффициент излучательной способности, характеризующий “серость” реальных тел и bl(q) – коэффициент яркости на каждой длине волны, как функция от угла, характеризующий направленность излучения.

. (14.20)

, (14.21)

где () – спектральная плотность светимости (яркости) серого тела при температуре Т;

()– спектральная плотность светимости (яркости) АЧТ при температуре Т.

Если эти коэффициенты известны, то можно подсчитать, как будет излучать заданный источник относительно АЧТ при одной и той же температуре.

Значения коэффициентов излучения различных материалов, применяемых в тепловидении, при определенных температурах приведены в таблице 14.1 [[5], [6]].

Таблица 14.1 – Коэффициент излучения (полный, нормальный) некоторых материалов

Материал	Температура, °С	Коэффициент излучения
Алюминий		0,05 0,09 0,55   0,04
полированные листы неполированные листы анодированные листы слои, нанесенные вакуумным напылением
Латунь хорошо полированная, зачищенная наждаком, окисленная		0,03 0,20 0,61
Медь полированная сильно окисленная		0,05 0,78
Железо литое, полированное литое, окисленное листовое, покрытое ржавчиной		0,21 0,64 0,69
Магний (полированный)		0,07
Никель электролитический, полированный электролитический, неполированный окисленный		0,05 0,11 0,37
Серебро (полированное)		0,03
Нержавеющая сталь 18–8, полированная на кожаном круге 18–8, окисленная при 800 °С		0,16 0,85
Сталь полированная окисленная		0,07 0,79
Олово (железные листы, покрытые оловом)		0,07

Дата добавления: 2014-01-11