Особенности применения градиентной оптимизации совместно с методами планирования экспериментов

Применение методов планирования экспериментов вносит в типовую процедуру градиентных методов поиска свою специфику.

1. Функция f (V) обычно изначально неизвестна, ее вид выбирается относительно произвольно, а параметры устанавливается по результатам эксперимента. Трудоемкость решения задачи оптимизации можно снизить, применяя неполные полиномы k- го порядка или линейные полиномы

y^' = b0 + b1 x 1 +…+ b kxk + b12 x 1 x 2 + b13 x 1 x 3 +…b k –1, k xk –1 xk + …+ b12… k x 1 х 2… хk + e; y^' = b0 + b1 x 1 + …+ b kxk + e.

(2.5а) (2.5б)

Таким образом, вместо самого градиента применяется его оценка.

2. Применение градиентных методов предполагает, что движение по градиенту может осуществляться в любом направлении изменения аргументов функции f (V), т.е. ограничений на область допустимых значений аргументов нет.

В практических задачах всегда существуют ограничения на значения параметров, поэтому при выборе направления движения следует учитывать это обстоятельство.

3. Значение градиента зависит от принятой системы перехода к кодированным значениям переменных, т.е. не является инвариантным к выбору центральной точки и интервала варьирования в формуле (1.1). В любой системе координат градиентный метод приведет к оптимуму, хотя скорость поиска и будет зависеть от выбранных значений центра и интервала варьирования переменных.

4. При анализе линейных функций определение шага изменения аргументов производится на основе неформальных процедур. Для полиномов (2.5а, б) шаг D v_i ^* изменения i -го фактора относительно центра определяется пропорционально соответствующей составляющей оценки градиента и величине интервала варьирования D v_i

D vi ^* = D vi b i /[b1^2 +b2^2 + … + b k ^2 ]^0,5.

(2.6)

Новое значение основного уровня фактора v_{i ,1} в исходной шкале измерений составит величину v_{i , 1}= v_{i , 0} + D v_i ^*.

5. Применение метода крутого восхождения предполагает вычисление градиента на каждом этапе. А это означает необходимость проведения достаточно большого количества опытов. Поэтому на начальном этапе поиска нужно применять линейные полиномы для описания функции отклика. Построение плана для формирования полинома второй степени производится путем добавления некоторых точек к "ядру", уже сформированному для линейного приближения (эти планы получили наименование композиционных).

6. Градиентные методы не обеспечивают гарантированного нахождения глобального оптимума при нарушении условия функции отклика. Выбор начальной точки для восхождения предопределяет область поиска локального экстремума.

7. Если эксперимент проводится на реальном объекте и требует больших затрат ресурсов, то поиск значений параметров может завершиться при получении удовлетворительных, а не оптимальных, значений функции отклика. Градиентный метод позволяет находить приемлемые решения и в этом случае.

Дата добавления: 2014-01-11