Лекция 2 14.05.12

Нечеткая Логика

Первая основопологающая стать по нечёткой логике, была опубликована в 1965, автором статьи являлся профессор Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде.

В настоящее время о нечёткой логике можно говорить как о самостоятельном научном направлении. Прилагательное «fuzzy» переводится на русский язык как нечёткий размытый мягкий. Оно введено в название новой теории с целью дистанцирования от традиционной чёткой математики и Аристотелевой логике, оперирующих чёткими понятиями: «Принадлежит - не принадлежит», «Истина – ложь».

Существует легенда о том, каким образом появилась теория о нечётких множествах.

Математический аппарат нечёткой логики достаточно сложен и объёмен.

Классическая логика. Логика высказываний.

Современная классическая математическая логика определяется как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики. Простейшим видом классической логики, является логика высказываний. Объект её изучения – это высказывания, их взаимосвязи и семантика. Фундоминтальным понятием классической логики - является понятия высказывания. Это любое утверждение, про которое можно однозначно решить истинно оно, или ложно.

Например: 37 – простое число, это очевидно истинное высказывание.

В классической логике не принимаются другие возможности, чем истинные или ложные высказывания.
Для обозначения истинности или ложности утверждения, используются элементы множества L = {0;1}

0 – ложь

1 – истина.

Эти элементы называются истинностными значениями. Для составления сложных высказываний используются простые высказывания, соединённые знаками логических операций (И, ИЛИ, НЕТ, ЕСЛИ … ТО, «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА»)

Импликация двух высказываний, соответствует союзу «если…,то…», обозначается символом =>, иногда эту операцию называют логическим следованием. А=>В (если А, то В). “Если верно высказывание А, то и верно высказывание B”; “из А следует В”.

Таблица истинности импликации 2 высказываний имеет вид:

А	В	А=>B

Табл.1 показывает, что из истинного высказывания А, следует истинное высказывает В.

Ложное же высказывание А, имплицирует как ложное, так и истинное высказывание В.

Говорят из лжи всё, что угодно.

Импликация лежит в основе вывода умозаключений, поэтому в А-> В, А называют условием или посылкой импликации, а В заключением или следствием импликации.

Пример:

А = «Треугольник равносторонний», тогда как известно истинно высказывание, что В = «Треугольник равноугольный», поэтому импликация X=A=>B = «Если треугольник равносторонний, то он равноугольный».

Согласно табл.1 считаются истинными высказывания, если А ложно, то В истинна, и если А ложно, то В ложно.

Это отражает тот факт, что из ложного высказывания, можно вывести как правильное, так и ошибочное заключение.

В настоящее время термин нечёткая логика используется в двух смыслах:

1) В узком, нечёткая логика – это логическая система, которая является расширением многозначной логики.

Нечёткая логика в узком смысле представляет собой специальную многозначную логику, которая нацелена на обеспечение формальных основ градуируемого подхода нечётности.

Под градуированным подходом, понимается общий принцип человеческого мышления, который используется при попытке выяснить, обладает ли объект свойством в полной мере или частично. Но поскольку данное свойство нечётно (например: практически белое пятно, очень сильный мотор), во всех этих случаях мы встречаем скрытые степени интенсивности рассматриваемых свойств.

2) Нечёткая логика в широком смысле: является расширением нечёткой логики в узком смысле и нацелено на создание математической модели, естественных человеческих рассуждений, в которых принципиальную роль играет естественный язык. В этом смысле нечёткая логика равнозначна теории нечётких множеств, то есть классов с нечёткими размытыми границами.

В общем, нечёткая логика, является результатом градуированного подхода к формальным логическим схемам. Благодаря градуированному подходу, нечёткая логика обеспечивает разрешимость некоторых классически неразрешимых проблем.

Например: древний парадокс Куча.

Sorites – куча. Falakros – лысый человек.

Парадокс кучи: одно пшеничное зерно, не образует кучи, то же самое верно для 2 зерён, для 3 зёрен, следовательно, кучи не существует.

Парадокс лысого человека: человек без волос или с одним волосом, лысый человек, тоже самое верно для человека с 2 волосами и т.д., следовательно, все люди лысые.

Указанные парадоксы возникают тогда, когда свойства «быть кучей» или «быть лысым» понимаются точно. Классическая двузначна логика, неспособна с ними сравниться, в рамках нечёткой логики подобные парадоксы не имеют места. Предлагаемые нечёткой логикой решения, заключается в допущении, что импликация F(x)=>F(x+1), где F(x) – означает высказывание “x” зерён не образуют кучу, истина только в некоторой степени близкой к, при этом допущении парадокс Кучи, так же как и парадокс лысый человек, исчезают.

В настоящее время развитие нечёткой логики ещё не завершено, но работа по разработки её математических основ ведётся активно.

Нечёткие множества как способы

формализации нечётности.

Понятие нечёткого множества:

Пусть U – универсальное множество, - “x” элемент универсального множества.

Нечёткое множество A, определяется как множество упорядоченных пар: где - характеристическая функция принадлежности, которое принимает значение в некотором упорядоченном множестве M=[0,1].

Функция принадлежности указывает степень или уровень принадлежности элемента “x” к множеству А.

Пример: формально можно записать

В={ множество молодых людей}. Поскольку возраст начинается с 0, то нижняя граница этого множества должна быть = 0, верхнюю определить сложнее. Сначала установим верхнюю границу = 20 годам, следовательно B=[0,20]. Возникает вопрос, почему кто-то в свой 20-ти летний юбилей молодой, а на следующий день не молодой? Очевидно это структурная проблема, и если передвинуть верхний придел, то останется тот же самый вопрос.

Более естественный путь создания множества B состоит в ослаблении строгого деления на молодых и не молодых. Можно использовать гибкие формулировки:

1) Да, он принадлежит к довольно молодым людям.

2) Нет, он не очень молодой.

Представим эту мысль более формализовано, введём значения между 0 и 1, тогда 1 означает, что человек принадлежит множеству B, а 0, не принадлежит, но граница между ними нечёткая.

0,5

20 25 30

Возраст

.

.

Дата добавления: 2014-01-11