IV группа - задачи на деление

Классификация арифметических задач.

Все арифметические задачи по числу действий делятся на:

1. простые задачи, для решения которых нужно выполнить одно действие.

2. составные задачи, для решения которых нужно выполнить несколько действий, связанных между собой.

Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, ко­торые формируются при их решении.

Классификация простых задач в зависимости от формируемых понятий.

Можно выделить три группы.

К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий, т.е. дети усваивают, какое арифметическое действие соответствует той или иной операции над множествами.

В этой группе пять задач.

1) Нахождение суммы двух чисел.

2) Нахождение остатка.

3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения).

4) Деление на равные части.

5) Деление по содержанию.

Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов:

1) Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму
слагаемому.

2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому
слагаемому.

3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности.

4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности.

5) Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю.

6) Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю.

7) Нахождение делимого по известным делителю и частному.

8) Нахождение делителя по известным делимому и частному.

К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрывается новый смысл арифметических действий. К ним относятся простые задачи, связанные с понятием разности (6 видов) и простые задачи, связанные с понятием отношения (6 видов). Термин «отношение» понимается здесь не в том узком смысле, когда под отношением понимается лишь частное, получаемое при делении одного числа на другое, а в значительно более широком.

В начальном курсе математики особенно много внимания уделяется работе над отношениями между числами, которые могут быть выражены словами «быть равным», «Сыть на столько-то больше (меньше), чем...», «быть во столько-то раз больше (меньше), чем...»

Смысл этих отношений раскрывается на основе разнообразных практических упражнений, связанных с установлением взаимнооднозначного соответствия между элементами двух множеств.

1) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел.

2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел.

3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма).

4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма).

5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма).

6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма).

Назовем задачи, связанные с понятием отношения.

1) Кратное сравнение числе или нахождение отношения двух чисел.

2) Кратное сравнение чисел или нахождение отношения двух чисел.

3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма).

4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма).

5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма).

6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма).

Классификация арифметических задач по принципу арифметических действий

Задачи

- на сложение,

- на вычитание,

- па умножение,

- на деление.

1 группа - задачи на сложение:

1) Задачи на нахождение суммы.

2) Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.

3) Задачи на увеличение на несколько единиц в прямой форме.

4) Задачи на увеличение на несколько единиц в косвенной форме.

5) Задачи, в условии которых есть слова «столько, сколько».

II группа - задачи на вычитание:

1) задачи на нахождение остатка.

2) Задачи на нахождение неизвестного слагаемого

3) Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.

4) Задачи на уменьшение на несколько единиц в прямой форме.

5) Задачи на уменьшение на несколько единиц в косвенной форме.

6) задачи на разностное сравнение.

3 группа - задачи на умножение:

1) Увеличение числа в несколько раз.

2) Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых.

3) Задачи на нахождение неизвестного делимого.

1) Деление на равные части.

2) Деление по содержанию.

3) Задачи на нахождение неизвестного множителя.

4) задачи на нахождение делителя.

6) Задачи на уменьшение числа в несколько раз.

6) Задачи на кратное сравнение.

Классификация простых задач в системе УДЕ.

Все разнообразие простых задач на сложение и вычитание удобно представить в виде трех циклов, по три задачи в каждом цикле. (26, 78).

Основу системы задач составляет первый цикл — задачи на нахождение суммы и неизвестного слагаемого;

второй цикл - это задачи на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого;

третий, решающий цикл - задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел.

В этой классификации условно назвали прямой задачей ту, которая логически проще остальных двух задач и потому изучается как первоначальная из трех задач того или иного цикла. В дальнейшем прямой задачей называем любую задачу группы взаимнообратных задач, которая рассматривается как исходная. Согласно этой классификации прямая задача и первая обратная задача изучаются на одних и тех же уроках в постоянном преобразовании друг в друга; вторая обратная задача изучается на основе этой совместно изучаемой пары задач. Завершающим этапом работы над задачами становится решение всей тройки задач с общим условием.

Данную классификацию можно представить в виде таблицы:

Задачи на сложение	Задачи на вычитание
Нахождение суммы (прямая задача)	Нахождение первого слагаемого (1 -я обратная задача)	Нахождение второго слагаемого (2-я обратная задача)
Нахождение умень­шаемого (1-я обратная задача)	Нахождение остатка (прямая задача)	Нахождение вычитае­мого (2-я обратная задача)
Увеличение числа на несколько единиц (прямая задача)	Уменьшение числа на несколько единиц (1 -я обратная задача)	Разностное сравнение (2-я обратная задача)

Расположение задач в теме «Умножение и деление» укажем схематически:

умножение (повторение равных слагаемых, прямая задача)	деление по содержанию	деление на равные части
увеличение числа в несколько раз (прямая задача)	кратное сравнение	уменьшение числа в несколько раз
нахождение числа по части	какую часть составляет одно число от другого	нахождение части числа

В результате применения метода взаимно обратных задач возникает замкнутая связь операций по решению первой тройки задач. Каждая задача данного цикла приобретает особое качество: она выступает как «представитель» всей тройки задач.

Иначе говоря, при применении данной методики решение любой тройки равносильно решению любой другой задачи этой тройки.

Классификация составных задач.

Для составных задач нет такого единого основания классификации. Однако целесообразно выделить некоторые группы, сходные либо по математической структуре (например: задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например: задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, свя­занные с движением).

В исторической практике решения задач встречаются разные классификации составных задач. Такие классификации можно найти в книге Поповой [16].

Например, задачи алгебраического типа:

1 тип. Деление числа на части, разность которых дана.

«В трех бидонах 87 л молока. Когда из одного бидона продали 3 л, во всех трех бидонах молока стало поровну. Сколько теперь молока в каждом бидоне?»

2 тип. Деление числа на части, отношение которых дано.

«Для получения бетона берут по весу 1 часть цемента, 2 части песка и 4 части щебня. Сколько надо взять щебня, чтобы получить 126 тонн бетона».

3 тип. Задачи на исключение одного из двух неизвестных.

«Один мальчик купил 3 тетради, а другой - 5 тетрадей. Второй мальчик заплатил за свои тетради на 12 копеек больше, чем первый. Сколько копеек истратил на тетради каждый мальчик?»

Следующие типы задач употреблялись в начальном курсе арифметики в 30-х годах:

1. Задачи на простое тройное правило с прямо пропорциональными величинами.

а) решаемые приведением к единице -

Например: «За 35 минут лошадь пробежала 6 км. Сколько пробежит она за 56 минут?»;

б) решаемые приведением к общему делителю -

«Один килограмм масла стоит 12 рублей. Сколько рублей стоят 450 гр. масла?»

2. Задачи на простое тройное правило с обратно пропорциональными ве­личинами (простейшие случаи).

Например: «Если на подводу класть по 450 кг муки, то всю муку с мельницы можно привезти на 4 подводах. Сколько потребуется подвод для перевозки этой муки, если на подводу класть по 600 кг муки?»

«Поезд проходит путь от одного города до другого в 12 часов, делая в час по 50 км. Во сколько времени пройдет тот же путь поезд, который проходит в час 40 км?»

3. Задачи на сложное тройное травило (простейший случай).

Например: «Чтобы прокормить 8 лошадей в течение 3 дней, надо 204 кг сена. Сколько сена потребуется для прокормления 12 лошадей в течение 30 дней?»

4. Задачи на среднее арифметическое.

Например: «Термометр показывал температуру рано утром 7, днем 13. Найти среднюю температуру в этот день».

5. Задачи на смешение.

«Домоуправление купило 175 куб. м березовых дров по 12 руб. за кубометр и 125 куб. м сосновых дров по 9 руб. за кубометр. Во сколько рублей в среднем обошелся жильцам дома кубометр дров?»

6. Задачи на встречу движущихся тел.

«Из двух городов, расстояние между которыми 630 км, вышли в одно и то же время два поезда - пассажирский и скорый - друг другу навстречу. Пасса­жирский поезд проходит 35 км в час, а скорый - 55 км в час. Через сколько времени они встретятся?»

7. Задачи, в которых требуется разделить число на части - по данной разности или отношению частей.

8. Задачи, в которых требуется найти по данному числу его часть.

9. Задачи, в которых требуется вычислить по данной части числа все число.

10. Задачи, которые решаются заменой одной неизвестной величины другою.

«На заводе 14 малых печей и 4 больших печи выплавляют в сутки 4500 т стали. Большая печь выплавляет столько стали, сколько 4 малых. Сколько ста­ли выплавляют малая печь и сколько большая?»

11. Задачи, в которых требуется вычислить неизвестное число, по данной разности двух величин.

«Крестьянин вывез на рынок два мешка муки: в первом мешке - 56 кг, а во втором - 49 кг. Первый меток он продал на 3 руб. 92 коп. дороже второго. Сколько стоит килограмм муки?»

12. Задачи, решаемые исключением неизвестного при помощи вычитания.

«На швейной фабрике сшили 26 пальто и 45 костюмов. На все эти пальто и костюмы пошло 209 м сукна, а на одно пальто и один костюм вместе идет 5 м 7 дм. Сколько сукна пошло на одно пальто и сколько - на костюм?»

К составным относятся также типовые задачи. В типовых задачах связаны три величины, две из них - переменные, одна - постоянная.

Типовые задачи, решаемые в начальной школе, разделяются на следующие виды:

1. Задачи па нахождение четвертого пропорционального.

2. Задачи на пропорциональное деление.

3. Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Дата добавления: 2014-01-11