Относительный покой жидкости. Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

Рис.4.1. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции P_u, равная по величине ma. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α.

Рассмотрим еще один частный случай относительного покоя жидкости. Жидкость находится в сосуде, вращающемся равномерно с угловой скоростью со вокруг своей вертикальной оси (рис.4.2). Когда движение установится, жидкость будет вращаться вместе с сосудом и будет относительно последнего находиться в покое.

Из массовых сил на каждую частицу жидкости, например М (рис. 4.2), в данном случае будут действовать сила тяжести и центробежная сила инерции переносного движения, вызванная вращением жидкости вместе с сосудом.

(4.1)

Для ускорения сил тяжести:

(4.2).2)

Для ускорения центробежных сил инерции переносного движения:

Прежде всего исследуем на основе полученных выражений форму свободной поверхности жидкости в сосуде, рассматривая ее как поверхность

(4.3)

равного давления. Воспользуемся дифференциальным уравнением поверхности равного давления

F_xdx + F_ydy + F_zdz = 0

(4.4)

Подставив значения F_x, F_y, F_z под которыми следует понимать алгебраическую сумму проекций ускорений силы тяжести и силы инерции, получим:

откуда после интегрирования найдем:

(4.5)

Это уравнение показывает, что поверхности

равного давления представляют собой

Рис.4.2 параболоиды вращения. Придавая С

различные значения, получим семейство параболоидов вращения. Для того чтобы получить уравнение свободной поверхности, надо определить Со для нее. Обозначим ординаты свободной поверхности через z_СВ.. Учитывая, что в самой низкой точке свободной поверхности при z_СВ =z₀ x = 0 и у = 0, получим:

(4.6)

Окончательно, имея в виду, что х² + у²=г², получим:

(4.7)

Из (4.6) следует, что каждая точка свободной поверхности, например М', находится над уровнем z_Q на высоте

(4.7)

Где — линейная скорость частицы, участвующей во вращательном движении вместе с сосудом и находящейся на расстоянии z от оси вращения.

(4.8)

Теперь найдем закон распределения давления по объему жидкости. В соответствии с выражением для полного дифференциала гидростатического давления в рассматриваемом случае получим:

Интегрируя, найдем:

(4.9)

Или

(4.10)

(4.11)

где r — расстояние частицы от оси вращения. Постоянную С₁ определим по давлению р₀ в точке свободной поверхности, расположенной на оси OZ. При этом r = 0; z = z₀ и

Подставляя значение С₁ в формулу для р, найдем:

(4.12)

Здесь z — координата любой частицы в объеме жидкости.

(4.13)

В связи с тем, что согласно (4.7) для любой точки, расположенной внутри жидкости, формула (4.12) может быть представлена в виде

где h — глубина погружения частицы, измеряемая от свободной параболической поверхности. Из (4.13) видно, что давление распределяется по гидростатическому закону.

3. Сила давления жидкости на плоские, произвольно ориентированные поверхности.

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом γ. Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b (рис.4.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=γgh, то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например А и B.

Рис. 4.3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно

P_A = γ h = γ·0 = 0 (4.14)

Соответственно давление в точке В:

P_B = γh = γH (4.15)

где H - глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равна γH, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку А с концом отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым углом в точке В. Среднее значение давления будет равно

(4.16)

Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна

(4.17)

где h_c = Н/2 - глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления (ц.д.) не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести, а величина l_д равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки.

(4.18)

где J_x - момент инерции площади S относительно уреза жидкости.

где J₀ – момент инерции смочено площадки относительно оси, проходящей через центр тяжести площадки параллельно линии уреза жидкости.

(4.19)

В частном случае, когда стенка длиной L имеет форму прямоугольника любой ширины b и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления (ц.д.) находится на расстоянии L /3 от нижней стороны (основания стенки).

Дата добавления: 2014-01-11