Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)

ВЕКТОРЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

 

Пусть в стране работает n отраслей народного хозяйства(n Î N): S1, S2,..., Si,..., Sn.

Продукция каждой отрасли используется тремя способами:

- внутри самой отрасли,

- в других отраслях,

- как конечный продукт, направляемый на продажу внутри и вне страны.

Пусть известны также затраты отрасли Si, потребные отрасли Sj для выпуска одной единицы своей продукции, и пусть они равны aij, (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., n). Это значит, что задана квадратная матрица n-го порядка (An x n), которую называют матрицей прямых затрат:

.

Основную задачу межотраслевого баланса (модель Леонтьева) можно сформулировать следующим образом.

Требуется определить необходимый объем выпуска продукции каждой отрасли так, чтобы обеспечить в каждой отрасли запланированный объем выпуска конечного продукта.

Если bi - запланированный объем выпуска конечного продукта в отрасли Si, то весь конечный продукт можно задать

вектором Вnx1, который называют вектором конечного продукта по отраслям: .

 

Пусть xi - искомый объем выпуска отрасли Si, тогда объем выпуска по отраслям можно задать вектором валового выпуска

по отраслям: .

В этих обозначениях задача имеет вид:

.

Уравнение называют моделью Леонтьева.

Ясно, что все матрицы в модели Леонтьева имеют только неотрицательные элементы.

Матричное уравнение (*) можно записать также в виде системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матрица этой системы Q = E - A. Если матрица S - невырожденная, то система (*) имеет единственное решение:

.

Матрицу Q-1 называют матрицей полных затрат. Каждый j -й столбец этой матрицы показывает затраты на производство единицы конечного продукта соответствующей отрасли.

Модель Леонтьева (*) и матрицу ее прямых затрат (А) называют продуктивными, если для любого вектора конечных продуктов найдется вектор необходимого выпуска продукции по отраслям .

Критерии продуктивности:

Пример.

Допустим, что имеются всего две отрасли народного хозяйства (n=2): энергетика и машиностроение. Энергетика запланировала валовый выпуск конечного продукта на сумму 144 млн рублей, а машиностроение - на сумму 123 млн рублей. Каждый млн. рублей валового выпуска конечной продукции энергетической отрасли требует 0,07 млн. рублей затрат валового выпуска своей отрасли и 0,12 млн. рублей затрат валового выпуска отрасли машиностроения. Каждый млн. рублей валового выпуска конечной продукции отрасли машиностроения требует 0,14 млн. рублей и 0,10 млн. рублей от энергетики и машиностроения. Требуется определить валовый выпуск продукции по отраслям, обеспечивающий запланированный валовый выпуск готового продукта. Из условий задачи следует, что вектор конечного продукта , матрица прямых затрат , единичная матрица , искомый вектор валового выпуска по отраслям .

Критерии продуктивности выполняются, следовательно, для решения этой задачи можно использовать модель Леонтьева: .

В условиях решаемой задачи получим:

.

Ответ: При данной матрице прямых затрат валовый выпуск конечного продукта в энергетике в объеме 144 млн. рублей, а в машиностроении в объеме 123 млн. рублей можно обеспечить, если общий валовый выпуск в энергетике будет 179 млн. рублей, а в машиностроении - 160,5 млн. рублей

 

 

Рассмотрим n стран (n Î N): S1, S2,..., Si,..., Sn с известным национальным доходом x1, x2,..., xi,..., xn соответственно.

Пусть aij - запланированная доля национального дохода страны Sj на покупку товаров у страны Si, (). Числа aij можно записать в виде матрицы

.

 

В этой задаче квадратную матрицу А называют структурной матрицей торговли.

Будем считать, что весь национальный доход каждой страны Si используется только на закупку товаров либо внутри самой страны (), либо на импорт из других стран (). Естественно, что в матрице А элементы неотрицательны и в каждом столбце сумма всех элементов равна единице.

Из перечисленных выше условий следует, что сбалансированная торговля возможна только при условии.

При получим систему линейных уравнений, которую в матричной форме можно записать как (*) ,

где А -структурная матрица торговли, а - вектор национальных доходов по странам.

Из уравнения следует, что вектор Х можно рассматривать, как собственный вектор матрицы А с собственным числом . Следовательно, только собственный вектор структурной матрицы торговли с собственным числом даст национальные доходы стран, обеспечивающие сбалансированность торговли.

Пример. Дана структурная матрица торговли трех стран: .

Определить, при каких национальных доходах этих стран торговля между ними будет сбалансированной.

Найдем собственный вектор матрица А при . Для этого достаточно найти вектор Х из матричного уравнения . . .

После умножения всех уравнений на 12 расширенная матрица этой системы будет иметь вид: .

Метод полного исключения приводит к результатам:

.

Получили однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Однородная система всегда разрешима. Количество неизвестных равно 3, а ранг расширенной матрицы и матрицы системы равен 2, следовательно, система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от оного параметра (3-2=1). Пусть x1 =4t, тогда x2 =9t, x3 = 8t, где t - параметр. Это означает, что при данной структурной матрице торговля будет сбалансированной только при условии, что отношение национальных доходов этих стран будет равно 4: 9: 8.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Которого являются частные производные этой функции, вычисленные в этой точке | Метод полного исключения для решения системы линейных уравнений
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 5904; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.