Метод Гауса

Приклад.

-система сумісна

2<4 (n=4 — кількість невідомих) — СЛАР має безліч розв’язків.

Розглянемо ще один метод розв’язування СЛАР — метод Гауса.

Нехай маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

(7.1)

Припустимо, що . Розділимо обидві частини першого рівняння на

(7.2)

Віднімемо від другого і третього рівнянь системи (7.1) рівняння (7.2) помножене спочатку на , потім на

(7.3)

Введемо позначення

, , ,

, , .

Тоді одержимо

(7.4)

Нехай . Розділимо обидві частини першого рівняння системи (7.4) на :

(7.5)

Віднімемо від другого рівняння системи (7.4) рівняння (7.5), помножене на :

Позначимо

, .

Тоді

.

В результаті цих операцій система (7.1) набуде так званого трикутного вигляду

Тепер визначимо всі невідомі, починаючи з останнього.

Зауваження. Якщо , то серед коефіцієнтів при , існує хоча б один відмінний від нуля. Тоді рівняння, що містить, вважатимемо першим.

Запропонований метод розв’язування СЛАР називається методом Гауса.

Карл Фрідріх Гаусс (30.04.1777-23.02.1855) видатний німецький математик, астроном, фізик.

Суть методу Гауса: шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду, коли усі елементи головної діагоналі основної матриці системи дорівнюють одиниці 1, а елементи основної матриці, що знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий вигляд системи дозволяє знайти усі невідомі.

Дата добавления: 2014-01-11