Постановка задачи оптимального управления

Ранее уже рассматривались задачи ОУ (типовые задачи 5 и 6), но только с формальной абстрактно- математической точки зрения. Привлечем физические состояния для обоснования постановки задачи.

Задачи оптимального управления чаще всего возникают в подсистемах управления технологическими процессами. В каждом случае существует некоторая технологическая задача, для выполнения которой предназначается соответствующая машина или установка (объект управления), снабженная соответствующая системой управления, т.е. речь идет о некоторой САУ, состоящей из объекта управления и совокупности устройств, которые обеспечивают управление этим объектом. Как правило эта совокупность включает в себя измерительные, усилительные преобразовательные и исполнительные устройства. Если объединить усилительные, преобразовательные и исполнительные устройства в одно звено, называемое управляющим устройством или регулятором, то функциональная схема САУ может быть приведена к виду на рис. 1. Состояние 0 в каждый момент времени характеризуется «П» переменными , называемыми входными, регулируемыми координатами состояния. Их удобно считать координатами n- мерного вектора состояния

Рис.1

Измененное устройство выдает информацию (в том числе и управляющему устройству) о текущем состоянии объекта. Если на основании вектора измерений могут быть найдены значения всех координат состояния , не могут быть найдены при известном значении вектора измерений , то система будет не полностью наблюдаемой. Управляющее устройства вырабатывает управляющее воздействие . Таких управляющих воздействий будет несколько, поэтому полагаем, что вектором - мерный

На вход управляющего устройства поступает задающее воздействие , которое содержит инструкцию о том, каково должно быть состояние объекта - так называемое «желаемое состояние».

На объект управления может поступать возмущающие воздействие , представляющие нагрузку или помеху. Измерение координат объекта измерительным устройством может производиться с некоторыми случайными погрешностями , называемыми шумами измерения.

Задачей управляющего устройства является выработка такого управляющего воздействия , чтобы качество функционирования САУ в целом было бы наилучшим в некотором смысле.

В дальнейшем будем рассматривать только те объекты, которые являются управляемыми, т.е. вектор состояния которых можно изменять требуемым образом путем соответствующего измерения вектора управления. Кроме того, объект предполагается полностью наблюдаемым, т.е. в этом случае, очевидно, можно не делать разницы между векторами и .

Отметим, что в дальнейшем измеряемые внешние воздействия и при рассмотрении задач управления для упрощения задачи не учитывается. Кроме того мы ограничимся рассмотрением объектов, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. С учетом всего сказанного функциональная схема САУ может быть приведены к виду рис.2

рис.2

Уточним и конкретизируем постановку задачи оптимального управления. Ранее при обсуждении типовых задач ОУ 5 и 6, речь шла об несколько абстрактных понятиях – управления связи.

, где

и задавалось начальное и конечное значения вектора .

Сейчас учетом сказанного можем считать, что уравнения связи это не что иное как дифференциальные уравнения объекта управления, методика получения которых рассматривается в курсе ТАУ.

Существует много различных путей решения рассматриваемой задачи. Но только один способ управления объектом дает наилучший в некотором смысле результат. Этот способ управления и реализующую его систему называют оптимальными.

Чтобы иметь количественные основания для предпочтения одного способа управления всем другим, необходимо определить цель управления, а затем ввести меру, характеризующую эффективность достижения цели –критерий оптимальности управления. Обычно критерий оптимальности- это числовая величина, зависящая от изменяющихся во времени и пространстве координат и параметров системы так, что каждому закону управления соответствует определенное значение критерия. В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны различные технические и экономические показатели рассматриваемого процесса.

Иногда к системе управления предъявляются различные, подчас противоречивые требования. Законы управления, который одновременно наилучшим образом удовлетворял бы каждому требованию, не существует.

Поэтому из всех требований нужно выбрать одно главное, которое должно удовлетворяться наилучшим образом. Другие требования играют роль ограничений.

Следовательно, выбор критерия оптимальности должен производиться, только на основании изучения технологии и экономики рассматриваемого объекта и среды. Эта задача выходит за рамки теории ОУ.

В качестве критерия, характеризующего качество процесса управления, чаще всего выбирается функционал

или

Относительно подынтегральной функции будем предполагать, что она непрерывна по всем аргументам и имеет непрерывные частные производные по переменным .

Для выполнения задачи управления мы располагаем ограниченными энергетическими и материальными ресурсами. Учет ограничений, естественно, стесняет выбор закона управления и одновременно делает задачу более определенной. Некоторые задачи более определенной. Некоторые задачи, сформулированные без учета ограничений, вообще не имеют смысла.

Например, задача о предельном воздействии в линейной системе (в случае с нажимным устройством прокатного стана) при неограниченных управляющих воздействиях лишена смысла. Время процесса в этом случае будет равно нулю, а воздействия бесконечны.

Математически ограничения часто имеют вид неравенств, относящихся к координатам, управляющим воздействиям или их функциям. Например, используемая нами ранее в типовой задаче «6» запись

Носит достаточно абстрактный характер, говорит лишь о том, что соответствующая величина не может или не должна выходить за допустимые границы, вид которой здесь конкретизирован. Чаше всего эта граница задается многомерным параллелепипедом

Так, например, для параллелепипед предстает прямоугольником, за границы которого конец вектора управления не должен выходить. Такое управление называется допустимым.

Максимально допустимые значения координат или воздействий определяются характеристиками технологического процесса и оборудования. Заметим, что учет ограничений – существенно влияет на постановку задачи об оптимальном управлении.

Основную задачу определения оптимального управления можно сформировать следующим образом.

В фазовом пространстве заданы начальное и конечное состояния ОУ. Среди всех допустимых управлений , для которых соответствующих траектории проходят через начальное и конечное состояния (если такие управления существуют), необходимо выбрать такое , для которого функционал (2) принимал минимальное (максимальное) значение.

Проиллюстрируем сказанное. Рассмотрим два пространства- управлений и состояний для .

Рис.4

Отметим в них начальное и конечное состояние векторов состояние управления

Кривые в пространстве управлений есть фазовые траектории вектора управления фазовые траектории вектора управления. Траектории допустимые траектории 5,6 –недопустимые т.к. выходят за область ограничений. Аналогично в пространстве состоящие фазовые траектории состояний допустимые, а недопустимые. Предполагается, что фазовой траектории под определенным номером в пространстве управлений соответствует фазовая траектория в пространстве состояний под тем же номером. Требуется из допустимых управлений (кривая 4 не рассматривается, т.тк.ая 4 нерассматривается авлений ом. тствует фазовая траекттория к. она вызывает недопустимую траекторию состояния 4) выбрать такую, которая, вызывает допустимые траектории состояния доставляет экстремум функционалу (2).

Это шестая типовая задача у управления, как уже отмечалось выше, называется неклассической вариационной задачей оптимального управления. Если же ограничения на координаты и управления (3) отсутствуют, и все вектора управления и состояния являются допустимыми, то возникает пята я типовая задача или классическая вариационная задача оптимального управления, (исследованию которой и посвящена настоящая глава).

Второй важной задачей оптимального управления является синтез оптимального регулятора, т.е. определение оптимального управления как функции либо вектора наблюдения , либо вектора состояния объекта , а не , как мы только что рассматривали.

Дата добавления: 2014-01-11