Теорема Л.С. Понтрягина

Пусть такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория рис.1, исходящая при из точки , проходит в момент времени через некоторую точку прямой П. Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой не нулевой непрерывной вектор функции , соответствующей функциям и , что

1. При любом гамильтониан достигает максимума по т.е.

2. В конечный момент имеет место соотношение

Замечание 1. Доказано, что на интервале и являются константами, поэтому если условия выполняется для , то они выполняются для любых .

Замечание 2. В большинстве случаев (см. рис. (*))

Замечание 3. Теорема получила название принципа максимума в связи с тем, что оптимальное управление , доставляющие максимум гамильтониану .

Следовательно, данная теорема говорит только о необходимости существования функции и выполнения условия максимума. вдоль оптимальной траектории, ноне дает конкретных рекомендаций по выбору оптимального управления.

* ищется как управление,

Пример. (глава II)

Введем вектор

для

для

т.к. т.е. для задач автоматического управления.

исходя их

Находим т.е.

Перепишем варьирование

Получили 3 уравнения с 3-мя неизвестными

Из главы (2)

Вектор характеризует положение гиперплоскости, т.е. играет так же роль, что и . Следовательно, решение то же самое.

Будем приближенно находить оптимальное управление и оптимальную траекторию.

Начальное . Найдем значение оптимального управления.

Зададимся произвольно,

Тогда Вычислим

, а должно быть =0

Возьмем

Возьмем

Если точность устраивает, то итерацию можем закончить.

Введем шаг дискретности по времени ∆

Каждый раз начало отчета берем в новой точке из уравнения

откуда

Тогда координата в будет

и т.д. см. рис. 1

Пример.

На управление наложено ограничение

Возможно 2 случая

1)

2) То решение происходит предыдущим способом без ограничений.

при оптимальном управлении

согласно ограниченным условиям определим значение управляющего сигнала при .

Замечено, что в начальный момент времени управление берется максимальным.

и далее, как в предыдущем примере см. рис. 2

Дата добавления: 2014-01-11