Сигналы и их характеристики

Если достоверно известны все параметры сигнала, то сигнал считается детерминированным, например гармонический сигнал

.

В случае если хотя бы один параметр сигнала является случайной величиной или функцией, сигнал считается случайной функцией, например, фаза гармонического колебания является случайной величиной, в этом случае гармонический сигнал считается случайной функцией

.

При изучении параметров случайных сигналов принято рассматривать его поведение на резисторе со значением сопротивления 1 Ом. В этом случае энергия на интервале времени [t_а, t_b] определиться по выражению

.

Средняя мощность на этом же интервале

Рассмотрим гармонический сигнал на интервале периода

P_ср = .

Спектры сигналов. Сигналы, рассматриваемые как функции, могут быть разложены в ряд. Используется несколько способов разложения [7]: в ряды Котельникова по системе функций sin(x_k)/x_k, по полиномам Лежандра первого рода, по функциям Бесселя первого рода, по функциям Хаара, по полиномам Чебышева, по полиномам Лагерра, по полиномам Эрмита. Наиболее распространено разложение в ряды Фурье периодических сигналов и интегральное преобразование Фурье для импульсных сигналов. Периодический сигнал представляется как сумма постоянной, косинусных и синусных составляющих

.

Используя формулы Фурье и , исходный сигнал можно представить в следующем виде

.

Рис.54. Представление составляющих n-гармонической периодического сигнала

Формула Эйлера для перехода от алгебраической формы записи числа в показательную:

- разложение периодичной функции с периодом Т.

Коэффициенты а_n b_n определяются через исходную функцию на периоде разложения Т:

; .

Задание на самостоятельную работу. Разложить в ряд Фурье: .

Для непериодических сигналов используется интеграл Фурье, представляющей тригонометрический ряд бесконечного числа гармонических, амплитуды которых малы, а аргументы соседних гармонических отличаются на бесконечно малую величину [10]. Формулы для интеграла Фурье получают из формул для ряда Фурье и называют прямым преобразованием Фурье.

S(w) =S(t)e^-jwt dt

Полученную функцию S(w) называют спектральной плотностью исходной функции S(t). По спектральной плотности функции можно опередить исходную функцию, такое преобразование называют обратным преобразованием Фурье.

S(t) =

Рассмотрим гармонический ряд Фурье для некоторых сигналов.

Рис.55. Сигнал в форме импульса (последовательности импульсов с периодом Т)

Рис. 56. Спектр сигнала в форме прямоугольных импульсов с периодом Т

Рис. 56. Спектры частот периодических импульсов

а – сигнал со скважностью 2, б – спектр сигнала со скважностью 2

в – сигнал со скважностью 6, г – спектр сигнала со скважностью 6

Рис.57. Одиночный прямоугольный импульс и его спектральная плотность

.

Рассмотрим одиночный импульс. Если увеличивать его длительность, то спектр будет сужаться. Короткий импульс порождает широкий спектр. Для передачи сигнала не обязательно иметь очень широкую полосу пропускания. Достаточно обеспечить полосу, в которой находится большая часть энергии сигнала. . Для одиночного прямоугольного импульса 90% энергии сосредоточено в пределах 1-го лепестка 0 < w < 2p/t_и. Если импульс очень короткий (например, дельта-функция d(t)), то порождаемый им спектр имеет неограниченную ширину с постоянным значением, равным площади d(t). К короткому импульсу относятся такие импульсы, для которых
t_и << 1/DF_k (DF_k - полоса пропускания канала связи или фильтра).

Рис. 58. Зависимость ширины спектра от длительности импульса

На интервале частот [0, ] вне зависимости от формы импульса, спектральная плотность считается постоянной. Для приближенных оценок используют соотношение , из которого следует, что импульс длительностью 1 мкс порождает спектр 1 МГц.

Корреляционные характеристики сигналов.

Введем функцию двух сигналов (функция корреляции) следующим образом:

Из анализа размерности корреляции видно, что это функция мощности. Аналогично вводится функция для одного сигнала

которая представляет собой функцию автокорреляции (насколько функция похожа на себя через некоторое время).

Примеры автокорреляционных функций для различных сигналов приведены на рис. 59.

Рис.59. Сигналы и их автокорреляционные функции

а – гармонический, б – видеоимпульс, в - радиоимпульс

Так для гармонического сигнала S(t)=Cos (t) автокорреляционная функция будет

R_s(t)=1/T·limCos(t)·Cos(t-t) dt=1/(2·T)·lim{Cos t+Cos(2t-t}dt= Cos (t)/2.

Для прямоугольных импульсов длительностью t_п, следующих с периодом T (T>>t_п)

R_s(t)=1/T·lim[1(0) -1(t_п)]·[1(-t)-1(t_п-t)]dt =1/T·lim[1(-t)-1(t_п)]dt =(t_п-t)/·T.

Для малых t_п последнее выражение можно аппроксимировать функцией R_s(t)=t_пе^-at, где a очень велико.

Автокорреляционная функция используется для описание стационарных случайных процессов. Случайный процесс называют стационарным, если функции распределения и плотности вероятности его не зависят от выбранного начала отсчета времени.

Плотность вероятности W(s,t) случайного процесса s(t) выражает собой вероятность того, что в момент времени t значение величины s(t) находится в интервале от s до s+ds. Функция распределения F(s) называют вероятность наступления события, при котором значение величины s(t), характеризирующей это событие, находится в интервале от -¥ до s. Для стационарного случайного процесса среднее по множеству равно среднему по времени, что позволяет обрабатывать одну временную зависимость и по ней судить о статистических свойствах всех зависимостей.

По известной функции автокорреляции можно определить спектральную плотность случайного процесса

S_s(w)=R_s(t) e^-jwt dt = 2R_s(t) cos(wt) dt

Для случайных функций времени без постоянной и гармонической составляющих функция автокорреляции R_s(t) максимальна при t=0 и с увеличением t быстро стремиться к нулю. В этом случае часто используют аппроксимирующую функцию R_s(t)=е^-at.

При использовании аппроксимирующей функции спектральная плотность определится как S_s(w)=. Поскольку принято a очень большим, то получаем, что в широком диапазоне изменения w (когда w < a) спектральная плотность будет постоянна.

Белый шум представляет собой совокупность множества узких импульсов, амплитуда которых имеют случайный характер, и подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Для него спектр будет представлять постоянную величину S_s(w)=const.

В теории сигналов важную роль играют теоремы Парсеваля и Релея.

Теорема Парсеваля. Энергия колебания на единичном сопротивлении:

Спектральная плотность энергии колебания:

Теорема Релея. Энергия взаимодействия двух колебаний.

Дата добавления: 2014-01-11