Свойства криволинейного интеграла первого рода

Теорема существования

Пусть функциянепрерывна на кусочно – гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

Замечание. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В.

1. Линейность
а) свойство суперпозиции

б) свойство однородности .

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если , то = +

Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L₁, так и элементы L₂. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. . Здесь – длина дуги .

4. Если на дуге выполнено неравенство , то

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно

Дата добавления: 2014-01-11