Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство. Лемма о нуле непрерывной функции




Лемма о нуле непрерывной функции.

Если 1) ; 2) , то .

Для определенности пусть и .

1. Рассмотрим точку . Если

, то и доказательство закончено, так как . Если , то число имеет определенный знак, пусть . Выберем тот "половинный" сегмент, на концах которого функция имеет значения противоположного знака. В нашем случае (см. рисунок) это сегмент , для него имеем , .

2. Рассмотрим . Если , то .

Если , то выберем сегмент так, чтобы

, и длина была равна половине длины предыдущего сегмента, т.е. .

Процесс продолжим либо до тех пор, пока не обратится в ноль, либо при .

Получим последовательность сегментов , вложенных и стягивающихся по длине к нулю, для которых (у нас) и . По принципу Кантора, . Воспользуемся теоремой о переходе к пределу
в неравенстве и непрерывностью на , т.е., в частности,
в точке . Получим .

Замечание. Лемма определяет достаточное условие существования корня уравнения . Если установлено заранее, что на корень единственный, то изложенная в доказательстве процедура построения последовательности сегментов , содержащих корень , составляет суть приближенного метода "половинного деления" решения нелинейного уравнения.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример и примеры на существенность условий леммы
рекомендуем привести самостоятельно.

 

Теорема Коши (о промежуточном значении)

Если

1) ;

2) , то для любого числа , расположенного между числами и , найдется значение
аргумента , такое, что .

Доказательство. Функция удовлетворяет условиям леммы о нуле непрерывной функции, и поэтому существует , такое, что , итак, .

Теорема доказана.

Замечание. Для функции , непрерывной на , существует (или ) , на концах которого функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений и . По теореме Коши всякое промежуточное между и число является значением в некоторой точке сегмента , а значит, и , т.е. непрерывная функция отображает сегмент в сегмент .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 533; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.