Обратная функция. Производная обратной функции

ЧП-чистая прибыль

К-капитал(в учебнике СК-собственный капитал,а в лекции просто К)

П-пассив

А-актив

ФР- финансовый результат

Факторный анализ прибыльности банка

Основные факторы,определяющие финансовый результат

Одним из основных приемов оценки уровня прибыльности коммерческого банка является анализ системы финансовых коэффициентов.

Структурный анализ финансового результата

Показатели оценки доходности и прибыльности коммерческого банка

В качестве основных приемов оценки уровня прибыли коммерчес-

кого банка можно выделить:

• структурный анализ источников прибыли;

• анализ системы финансовых коэффициентов;

• факторный анализ.

Целью структурного анализа является выявление основного источ-

ника прибыли и оценка его с точки зрения стабильности, сохранения в

будущем и перспектив роста.

Пример:

Отчет о прибыли ОАО ВТБ млрд.руб.

Чистый процентный доход	69 877	58 954
Доходы за вычетом расходов по операциям с ценными бумагами	18 524	16 481
Переоценка позиций, в т.ч. в иностранной валюте	8 714	41 861
Чистый комиссионный и прочие доходы	13 024	18 698
Расходы, св. с обеспечением деятельности и прочие расходы	-28 087	-20 187
Резервы на возможные потери	-29 921	-78 566
Прибыль до налогообложения	61 329	35 713
Прибыль	43 342	23 751

В 2010 году был обеспечен рост чистой прибыли относительно 2009 года на 75%:

• Основной источник – чистый процентный доход, рост за год – 19%,

• Следующая позиция – доходы от операций с ценными бумагами (за вычетом расходов), рост за год – 12%,

• Значительный источник расходов – формирование резервов на возможные потери, в 2010 имело место значительное сокращение отчислений в резервы – более, чем в два с половиной раза,

• На 40% в 2010 году выросли расходы по обеспечению деятельности банка и прочие расходы.

Система финансовых коэффициентов прибыльности

Основные показатели	Формула
Рентабельность активов	РОА = Чистая прибыль/Активы
	Прибыль до налогов (ФР)/Активы
Рентабельность работающих активов	Чистая прибыль/Работающие Активы
Рентабельность капитала	РОЕ = Чистая прибыль/Капитал
	Прибыль до налогов/Капитал

• Темпы роста доходов и расходов,

• Средняя доходность отдельных активных операций, уровень расходов по пассивным операциям,

• Доля активов, приносящих доход в балансе,

• Структура активов и пассивов банка,

• Уровень риска, принятого банком,

• Развитие комиссионных операций.

1. ФР/К = (ФР/А)* (А/К)
2. ФР/А = (ВД/А) * (ФР/ВД), где

ВД – валовой доход

3. ЧП/К=(ЧП/А)*(А/К)=(ВД/А) * (ЧП/ВД)* (А/К)

(формула Дюпона)-показывает основные направления роста доходности инвесторов коммерческого банка и обеспечения стабильной рентабельности.

Понятие обратимости функции относится к свойствам
функции на множестве (глобальное свойство).

Будем рассматривать функцию , ; здесь – область задания функции: – множество значений функции.

Функция называется обратимой на , если она принимает каждое своё значение только один раз; символически это определение запишется

(символ означает "существует единственное значение"),

т.е. на множестве определена функция , , такая, что выполнены тождества:

на и на .

При этом функцию называют обычно обратной функцией для .

Заметим, что графики функций и на плоскости OXY совпадают.

Пример. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

Решение. Обозначим , ; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого существует единственное значение , т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .

Для обратной функции проводим переобозначение
переменных: заменяем на , заменяем на , получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси , а значение функции – на оси .

В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).

Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение относительно , , а затем переобозначить переменные.

Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .

Достаточное условие существования обратной функции:

Если

1) – непрерывна на промежутке ;

2) – строго возрастает (или строго убывает) на промежутке , то на соответствующем промежутке значений функции существует однозначная обратная функция , , , также непрерывная на и строго монотонная на (с сохранением характера монотонности).

Доказательство этого утверждения приведено подробно,
например, в [2].

Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой"
(исходной) функции переносятся на обратную функцию.

Дифференцируемость обратной функции:

если 1) функция обратима в некоторой окрестности
точки , ; , ;

2) функция дифференцируема в точке , т.е. существует ,

то для обратной функции существует производная и выполняется равенство или .

В самом деле, рассмотрим отношение при – произ-вольном, , ; получаем

.

Поскольку – непрерывна в точке (следует из ее дифференцируемости в точке ), то и обратная функция – непрерывна в соответствующей точке , т.е. и одновременно. И тогда существование предела определяет существование предела , причем (по теореме о переходе к пределу в равенстве).

Формула дифференцирования обратной функции

предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке , а также равенства: ; ; , на ; на .

Дата добавления: 2014-01-13