Свойства операции умножения вектора на число

Умножение вектора на число

Определение. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. , .

Следствия. 1. . ► .◄

2. .► .◄

3. .►◄

1. : ;

2. : ;

3. : ;

4. : ;

5. : .

Первое из приведенных свойств, очевидно, выполняется, докажем остальные.

2. ►,, значит, векторы и противоположны.◄

3. ► Если одно из чисел или равно нулю, либо вектор – нулевой, то равенство верно. В любом случае длины векторов в левой и правой частях совпадают, так как и . Остается доказать совпадение их направлений. Если и , рассмотрим несколько случаев.

а) . Тогда ; . Таким образом, векторы в левой и правой частях равенства сонаправлены одному и тому же ненулевому вектору, поэтому они также сонаправлены.

б) . Тогда ; , и опять векторы сонаправлены.

в) . Тогда ; . Векторы в левой и правой частях равенства противонаправлены одному и тому же ненулевому вектору, поэтому они сонаправлены.

г) . Случай, аналогичный предыдущему.◄

4. ►При или равенство, очевидно, выполняется. Рассмотрим остальные случаи.

а) , , векторы и неколлинеарны. От произвольной точки отложим векторы и , а от точки – вектор . Проведем прямую через точки и , а через точку – прямую, параллельную . Точку пересечения построенных прямых обозначим (рис.1.6). Так как , то треугольники и подобны. Из их подобия получаем: , , значит ; , , значит . Тогда . С другой стороны, , откуда и вытекает доказываемое равенство.

б) , , векторы и коллинеарны. От произвольной точки отложим векторы , от точки – вектор . Выберем произвольную точку , проведем через нее прямые , , и на прямой отложим отрезок (рис. 1.7). Через точку проведем прямую, параллельную , и обозначим точки ее пересечения с прямыми и соответственно и . На рисунке 1.7 треугольники и подобны. Из их подобия получаем, что , , значит, . Аналогично из подобия треугольников и получаем, что , а из подобия треугольников и – что . С другой стороны, , откуда и вытекает доказываемое равенство.

в) . Вектор противоположен вектору . Но вектор также противоположен , так как , поэтому .

г) . Тогда

◄

5. ►а) . Равенство, очевидно, выполняется.

б) . Тогда . Но и , поэтому , значит . Остается доказать равенство длин. На рисунке 1.8. . По рисунку видно, что

.

С другой стороны, .

в) . Тогда , . На рисунке 1.9. . По рисунку видно, что . Кроме того

.

С другой стороны, , поэтому и .

Аналогично равенство доказывается в случае, когда .◄

Дата добавления: 2014-01-13