Понятие о весе измерения. Общая арифметическая средина

Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин

Предельная, абсолютная и относительная погрешности

Применительно к конкретным условиям измерений указывают критерий отбраковки результатов наблюдений. В качестве такого критерия принимают предельную погрешность Δпр. При более ответственных измерениях

Δпр = 2m

Для менее ответственных измерений такая погрешность будет составлять

Δпр = 3m

Погрешность, определяемая по формуле (), является абсолютной.

В практике геодезических измерений точность наблюдений принято характеризовать не только абсолютным значением погрешности (истинной, средней квадратической), но и ее относительной величиной. В качестве относительной погрешности принимают отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

где l – значение измеряемой величины.

Пример. Дано m = 0,11 м; l = 212,43 м.

По формулам () и () имеем

Δпр = 0,22 м; Δотн = 0,11/212,43 ≈ 1/2000.

Пусть дана функция

z = x + y,

где х и у - независимые слагаемые. Через Δz, Δх и Δу обозначим соответствующие случайные погрешности величин х, у, z при однократном их измерении. При этих условиях z + Δz = (х + Δх) + (у + Δу), откуда Δz= Δх + Δу

Если каждое слагаемое измерить n раз, то можно написать п равенств вида (). Если каждое из них возвести в квадрат, cложить левые и правые части и разделить затем обе эти части равенства на n, то получим

представляет собой сумму произведений случайных независимых

погрешностей, поэтому при достаточно большом числе n последний член этого равенства мал и им можно пренебречь. Приняв во внимание формулу (), получим

m_z² = m _x² + m_y²

Эта формула справедлива и для функции z = x + y.

При m _x = m_y = m формула () принимает следующий вид:

Если дана функция z = x1 ± x2 ± … ± xn, то обозначив через mz, m1, m2, …, mn средние квадратические погрешности этой функции и аргументов, получим

m_z² = m ₁² + m₂² + … + m_n^2.

При m₁ = m₂ = … = m_n = m будем иметь

m_z = m√ n

Рассмотрим теперь функцию общего вида

z = f (x₁, x₂, …, x_n).

В теории погрешностей измерений доказывается, что если x₁, x₂, …, x_n независимые величины, то

представляют собой частные производные данной функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов.

Пример. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения по формуле

h = d tg ν

где горизонтальное проложение d = 143,5 м; угол наклона визирования к горизонту ν = 2030΄. Определены они со средними квадратическими погрешностями m_d = 0,5 м и m_ν = 1΄.

Вычисляем частные производные

Пример. В результате измерения отрезка AB на местности двумя 20-метровыми лентами получены данные, приведённые в таблице

Вычислив разности d_i = x_i – y_i возведем их в квадрат и сложим. Пользуясь формулой (), получим

Понятие о весе измерения вводят для обработки результатов неравноточных измерений. Вес определяет степень надежности результатов измерений. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью измерений.

За вес результата измерения pi, принимают величину, обратно пропорциональную квадрату средней квадратической погрешности, т.е.

где с - - некоторая постоянная величина. Обозначив через р вес одного результата измерения, а через Р — вес арифметического среднего из п таких измерений, получим

Р/р = т²/М² = т²/(т²/п)=n,

т.е. вес арифметической средины в п раз больше веса одного результата измерения.

Условимся, что результат, полученный из одного приема, имеет вес, равный единице, а результат, найденный из п таких приемов, имеет вес, равный n.

Пусть величина X измерена п раз в различных условиях. При этом получены значения x₁, x₂, …, x_n с весами p₁, p₂, …, p_n.

Тогда без доказательств формула весового среднего или общей арифметической средины, учитывающая вес измерений, будет

Средняя квадратическая погрешность μ, соответствующая результату измерения, вес которого принят равным единице, или так называемая средняя квадратическая погрешность единицы веса определяется по формуле

где vi = xi – x0.

Средняя квадратическая погрешность М0 весового среднего или общей арифметической средины

Пример. Требуется определить весовое среднее, среднюю квадратическую погрешность единицы веса и среднюю квадратическую погрешность весового среднего по данным табл..

Подставляя данные таблицы в формулу (), получим

Здесь для упрощения общая часть 73 ⁰08' вынесена за знак операций, а веса получали делением на 3.

По формулам () () имеем

Дата добавления: 2014-01-11