Кумулятивные алгоритмы

Рассмотрим кумулятивную обработку дискретных сигналов, причем будем считать, что моменты начала репетиций полезного сигнала отвечают моментам| дискретного времени.

Входной сигнал х(mТ) (m-й дискрег|) образован адитивною| смесью полезного сигнала| и шума| на сегменте і-ї| репетиции, имеет вид

x(mТ)= s(mТ)+ п(mТ) (1.13)

где s(mТ)= s[(m + _и)];

s(mТ) — полезный орущий сигнал конечной|концевой| длины МТ;

n(mТ) -шум;

_іТ-| момент начала і-ї| репетиции;

Т - период дискретизации.

Исходный|выходной| сигнал в(mТ) (m-й дискрет|) после кумуляции на j-й репетиции описывается выражением

(1.14)

где аi - взвешивающие коэффициенты отдельных сегментов.

Выражение (1.14) значит|означает| суперпозицию сегментов, причем влияние отдельных сегментов может быть разным|различным|. Выбором количества сегментов, которые добавляются|прибавляются,додаются|, М, и коэффициентов аi (и = 0,1..., М-1) определенный тип кумулятивного алгоритма| и его свойства. Заметим, что в зависимости от выбранных|избранных| коэффициентов а, выражение (1.14) может сходиться и тогда|и затем|, когда количество реализаций в кумуляции излишне|чрезмерно| растет|вырастает| (это используют в случае экспоненциальной кумуляции).

Выражение (1.14) отображает значение дискрета| исходного|выходного| сигнала в реальном времени и складывается|состоит| с М репетиций этого дискрета|, причем более старые (более давние) репетиции в результате могут и не учитываться.

В частном случае периодических|периодичных| репетиций (если репетиционный период LT) выражение (1.14) (для одного дискрета| кумуляции для j > L-1) можно превратить к|до| виду

(1.15)

Импульсная характеристика h(іL) устройства, что реализует (1.15), имеет вид h(-іL)= aі, (и = 0,1....М-1), то есть

(1.16)

Реализации кумулятивных алгоритмов в практике (программные аоо| в виде простых устройств) базируются на общей структурной схеме, которая|какая| приведена|наведена| на рис.1.12.

За схемой рис.1.12 соответствующие (в разных|различных| репетициях) часовые|временные| интервалы обрабатывают в независимых параллельных каналах.

Каждый из|с| кумульованих| сегментов описывают N дискретами| х[(m + _и)Т], где (m + _и) = L = 0,1...,N-1. В течение каждой репетиции оба переключателя пройдут все состояния|станы| таким образом, чтобы L-й канал был підімкнений| к|до| входу и выходу в момент mТ = (L + _I)t

Рисунок| 8- Общая структурная схема для реализации кумулятивных алгоритмов в практике

В часовых|временных| интервалах между репетициями (N-м значением данной репетиции, что обрабатывается, и первым - следующей) все переключатели находятся в положении, при котором|каком| вход отомкнутый от выхода.

На практике используют два вида кумуляции: с постоянными|устоявшимися| весовыми коэффициентами | и с весовыми коэффициентами | |, которые|какие| уменьшаются за экспоненциальным законом.

Кумуляция с одинаковыми вагами|

В этом методе результат складывается|состоит| с М последних повторений сигнала| с приблизительно|примерно| постоянными|устоявшимися| вагами| аi = 1/М (и = 0,1,...,М-1).

Оценим, какого улучшения отношения сигнал/шум можно достичь за данным методом. Пусть шум n(t) - стационарный, а ергодичний| процесс - с нулевым математическим ожиданием, который|какой| описан однови-мерной густотой|плотностью| вероятностей р(n). Пусть также для сигнала| в течение кумуляции все репетиции идентичные. В соответствии к|до| (1.13) и (1.14) при j М-1 кумуляция одного дискрета|

(1.17)

Оценим теперь, какая дисперсия _S² отвечает случайной величине, которая|какая| образована суммой и является вторым членом выражения (1.17). (Она характеризует дисперсию шума| после кумуляции). Можно получить выражение

(1.18)

где - kiL ковариация пар членов суммы.

Ясно, что корреляция между одноименными мгновенными значениями в разных|различных| сегментах увеличивает дисперсию шума и ухудшает возможности кумуляции. В обычном в практике случае, когда эти связи малые, двойной суммой в (1.18) можно пренебречь, и дисперсия шума| после кумуляции в М раз меньше, чем исходного|выходного| шума. Поскольку мощность полезного детермінованого| сигнала после кумуляции такая же, как и к|до| ней, отношение сигнал/шум увеличится в среднем (по напряжению или току) у ^М1/2 раз.

Гипотезу, что реализации шума в отдельных репетициях некоррелируемые, можно быть легкопроверяемым, если вычислить|исчисляющий| (измерять|вымерять,вымеривать|) автокорреляционную функцию шума без сигнала. Если ее значение на интервалах, которые|какие| отвечают времени репетиций (среднему) зникомо| малые, то гипотеза верна. Оттуда (в обратном порядке) можно установить минимальный интервал между репетициями (если его при измерениях можно выбирать, что в медицинских задачах не всегда удается|прибегает|). Например, в кардиограмме можно пропустить непарные|нечетные| репетиции и кумулювати| парные|четные|. Но, поскольку эти репетиции также изменяются со временем, то здесь|тут| нужно выбирать умный компромисс.

Если автокорреляционные функции имеют периодические|периодичные| составляющие (то есть и шум также), ситуация осложняется|усложняется|. Если репетиции стимулируются (вызываются внешними возбуждениями), нежелательные связи можно исключить|выключить| выбором случайных интервалов между стимулами.

Очень важно подчеркнуть, что полученный результат кумуляции верный лишь|только| в среднем, когда обрабатывают большое|великое| количество репетиций, то есть, когда реализуются законы больших|великих| чисел.

В случае кумуляции малого количества репетиций шум может и не быть (после кумуляции) заметно более малым.

Тот факт, что результаты верные лишь|только| в среднестатистическом смысле, часто в медицинской практике не принимают во внимание, а это иногда приводит к|до| неверным результатам.

На практике, также часто (с целью получения удовлетворительных результатов кумуляции) требуют, чтобы шум имел нормальное распределение или равномерный спектр, и тому подобное. Ясно, что такие требования убыточны, и единственное|единое| требование - это чтобы процесс был центрируемым|центруемым|, а реализации шума, соответствующие к|до| разным|различным| репетициям, были иекорельованими|.

Не масс значения также форма коваріаційної| функции шума| на интервале одной репетиции, то есть связи между близкими дискретами| шуму.

Кумуляция с экспоненциальными вагами|

В соответствии к|до| (1.14) индексом и = 0 обозначим|пометим| последнюю репетицию, то есть пусть теперь индекс увеличивается по направлению к прошлому. Тогда взвешивающие коэффициенты при экспоненциальной кумуляции можно определить следующим образом

(1.19)

где с > 0, потому|оттого| 0 < q < 1.

В сумме (1.14) последняя репетиция тогда учитывается полностью, в то время как предыдущая|предварительная| уменьшается у q раз и т.п. Потому|оттого| чем более старый чем дис-крет|, тем меньшее его влияние на сумму.

Теоретически в результате присутствуют все репетиции от начала кумуляции в течение произвольно длительного времени. Но влиянием старых репетиций (с учетом конечной|концевой| разрядности вычислений|исчислений|) можно пренебречь.

Верхняя границя| суммы (1.14) после каждой репетиции увеличивается и не является заранее|кпереди,наперед| заданной, как в случае равномерной кумуляции. Рассмотрим теперь свойства этого метода|.

Если подставить (1.19) к|до| (1.14), одержимо для одного кумульова-ного| дискрета|

(1.20)

где (₀ (и _M-1) есть начало последней (и начальной) репетиций.

Первый член в (1.17) - полезный сигнал, полученный как сумма членов геометрической прогрессии, которая|какая| с ростом М приближается к|до| своему асимптотическому значению

(1.21)

причем отклонение от этого значения уменьшается экспоненциальное.

Можно показать, что, если такое отклонение должно составлять меньше, чем г процентов конечной|концевой| величины (3.21), необходимо кумулювати| не меньше, чем

(1.22)

Дисперсия случайной величины, которая|какая| является вторым членом в выражении (1.17), если считать дискрети| шуму между репетициями не коррелируемыми, имеет вид

(1.23)

Такой образом|чином|, уровень сигнала| после кумуляции М репетиций вырастет в (1 - qM)/(1 - q) раз, в то время, как эффективный уровень шума - только в [(1 — q^2М)/(1 - q²)]^1/2 раза. Для струма| или напряжений отношения сигнал/шум вырастет в среднем

(1.24)

Это значение растет|вырастает| с ростом М и для М —» °° приближается к|до|

[(1 + q))/(1 - q)^1/2

Ясно, Іцо| наибольшее значение, которое|какое| можно достичь, определяется выбором коэффициента я. Чем я ближе к|до| единице, тем большего улучшения можно достичь, но тем дольше продолжается приближение к|до| постоянному|устоявшемуся| значению. Если экспоненциальная кумуляция должна дать те же значения, что и равномерная с _Мо репетициями, то в соответствии к|до| (1.24)

(1.25)

На рис.9 приведено|наведено| сравнение результатов равномерной кумуляции с Мо = 100 и экспоненциальной 3 q = 0,980198 (в соответствии к|до| (1.22)).

Из|с| верхнего рисунка| видно снижение кумуляции, начиная с 201-ї| репетиции. При М = 100, когда равномерная кумуляция дает уже полный уровень сигнала и в среднем обеспечивает полное увеличение отношения сигнал/шум, экспоненциальная кумуляция достигает около|порядка| 86 % для обоих параметров рис.1.13.

Сейчас|в настоящий момент| уже ясно, почему экспоненциальную кумуляцию вообще используют. Она позволяет долгосрочное исследование медленных динамических|динамичных| изменений|смен| кумульованого| сигнала| без существенных технических осложнений|усложнений|. Потому|оттого| сумму (1.20) можно считать за такую, которая|какая| изменяется во времени (пульсирует), причем старые значения не отбрасываются|откидываются| после М репетиций, как это имеет место при равномерной кумуляции, а "забываются" постепенно. Как видно с рис.9 динамические|динамичные| свойства равномерной и экспоненциальной кумуляции" не очень различаются.

Экспоненциальная кумуляция реагирует на смены быстрее, но медленнее достигает постоянных|устоявшихся| значений. Достигнутый рост отношения сигнал/шум не намного хуже, чем у равномерной кумуляции.

Рисунок| 9- Кумуляции с экспоненциальными изъянами|пороками|

Дата добавления: 2014-01-13