Выявление аналитической связи между признаками на основе метода наименьших квадратов (построение линейного уравнения регрессии)

Следующий этап исследования корреляционной связи заключается в том, чтобы описать зависимость признака-результата от признака-фактора некоторым аналитическим выражением. Так как исследуемая зависимость является корреляционной, то функция, описывающая зависимость (аналитическое уравнение регрессии), должна быть «ближайшей» к рассматриваемой корреляционной связи. Эта задача решается на основе метода наименьших квадратов (МНК), который позволяет по исходным данным оценить параметры функции, относящейся к заданному классу. Так, если считать, что связь между исследуемыми признаками – линейная, то нужно определить параметры линейного уравнения регрессии

у¯=a+bx

на основе системы нормальных уравнений:

у¯=a+bx¯

(хy)¯=ах¯+bx¯².

Решение системы дает следующие значения параметров:

b=((хy)¯–х¯у¯)/((х²)¯– (х¯)²),

а=у¯–bх¯.

Однако определить параметры линейного уравнения регрессии можно по-другому. Существует взаимосвязь между коэффициентом (b) линейного уравнения регрессии и коэффициентом корреляции:

b=r_хуσ_х/σ_у,

а=у¯– bх¯.

Таким образом можно определить параметры а и b. Значение параметра (свободного члена уравнения) «а» показывает степень влияния неучтенных в анализе факторов на признак-результат, параметр b показывает влияние признака-фактора х на признак-результат. Если значение параметра b положительное, то это означает, что при увеличении признака-фактора х на единицу признак-результат у увеличивается на эту же величину. Если значение параметра отрицательное, то при увеличении признака-фактора х на единицу признак-результат у уменьшается на эту же самую величину.

4. Множественная корреляция.

При решении практических задач оказывается, что признак-результат у зависит сразу от нескольких факторов х (например, инфляция связана с динамикой потребительских цен, объемами экспорта и импорта, курсом $, количеством денег в обращении, объемом промышленного производства и др.).

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ решает следующие задачи: 1) обоснование взаимосвязи факторов, влияющих на исследуемый показатель; 2) определение степени влияния каждого фактора на признак-результат путем построения модели – уравнения множественной регрессии, которая позволяет установить, в каком направлении и на какую величину изменится признак-результат при изменении каждого фактора, входящего в модель; 3) количественная оценка тесноты связи между признаком-результатом и факторами.

Наиболее простыми для построения, анализа и экономической интерпретации являются многофакторные линейные модели, которые содержат независимые переменные только в первой степени:

у‾=а₀+а₁х₁+а₂х₂+…+а_кх_к,

а₀ – свободный член, а₁, а₂, …, а_к – коэффициенты регрессии; х₁, х₂, …, х_к – признаки-факторы.

Параметры уравнения множественной регрессии также рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК), решается система нормальных уравнений с к+1 неизвестным:

а₀n+а₁∑х_i1+ а₂∑х_i2 +…+ а_к∑х_iк=∑у_i

а₀∑х_i1+ а₁∑х_i1²+а₂∑х_i1∑х_i2+…+а_к∑х_i1∑х_iк=∑у_iх_i1

……

а₀∑х_iк+ а₁∑х_i1х _iк+а₂∑х_i2∑х_i2+…+а_к∑х_iк²=∑у_iх_iк,

где х_ij – значение j-го признака-фактора в i-ом наблюдении; у_i – значение результативного признака в i-ом наблюдении (i=1,…,n).

Систему нормальных уравнений следует видоизменить, чтобы при вычислении параметров регрессии можно было использовать уже найденные парные коэффициенты корреляции. Заменим переменные у, х₁, х₂,…, х_к переменными t_j, полученными следующим образом:

t_jу=(у_i – у‾)/σ_у; t_jj=(х_ij – х_j‾)/σ_xj (i=1,…n; j=1,…,k).

Эта процедура называется стандартизацией переменных. При переходе к стандартизированному масштабу переменных уравнение множественной регрессии имеет вид:

t_у=β₁t₁+ β₂t₂+…+ β_кt_к, где

β_j (j=1,…, к) – коэффициент регрессии.

β – стандартизированные коэффициенты множественной корреляции. Β показывает, на какую часть сигмы (σ_у) изменилось бы значение результата, если бы соответствующий j-тый фактор изменился на сигму (σ_хj), а прочие факторы не изменились бы.

а_j= β_jσ_у/ σ_xj (j=1,…,k).

Для вычисления β_j используется МНК.

r_ух1= β₁+ r_х1х2β₂+…+ r_х1хкβ_к

r_ух2= r_х1х2β₁+ β₂+…+ r_х2хкβ_к

…

r_ухк= r_х1хкβ₁+ r_х2хкβ₂+…+ β_к, где

r_ухj=1/n∑t_iyt_ij – парный коэффициент корреляции признака-результата у с j-тым фактором;

r_xjxl=1/n∑t_ijt_il – парный коэффициент корреляции j-го фактора с l-тым фактором.

После рассчитывается коэффициент детерминации R² и совокупный коэффициент множественной корреляции R – общие показатели тесноты связи многих признаков.

R²=r_ух1β₁+r_ух2β₂+…+r_ухкβ_к

R=√R² (0≤R≤1).

Если R стремится к 1, то моделируемая связь стремится к функциональной. Если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,8, то это явление называется колленеарностью, а между несколькими факторами – мультиколленеарностью.

Далее определяются частные и совокупные коэффициенты эластичности:

Э_j=∆X_ј/X‾_ј: ∆У/У‾=а_j*X‾_j/У‾,

где ∆X_ј – среднее значение j-го признака-фактора; У‾ -- среднее значение результативного признака; а_j – коэффициент регрессии при j-м признаке-факторе.

Этот показатель показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения признака-результата при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

∑ Э_j=Э_совок – позволяет оценить эластичность в целом при совокупном изменении факторов.

Рассмотрим пример.

№ предприятия	Чистая прибыль, тыс.руб., У	Численность обслуживаемого населения, млн.чел.,Х1	Рентабельность, % Х2
		4,9
		5,1
		6,5
		3,7
		4,0
		2,5

у¯_х=а₀+а₁х₁+а₂х₂

Определяются у¯, х₀, х₁, х₂ и их среднее квадратичное отклонения, а также коэффициенты корреляции r_у1, r_у2, r_х1х2.

Построим расчетную таблицу для определения параметров уравнения регрессии.

У	Х1	Х2	Х1^2	Х2^2	Х1Х2	УХ1	УХ2	У^2
	4,9		24,0
	5,1		26,0
	6,5		42,3
	3,7		13,7
	4,0		16,0
	2,5		6,3
	26,7		128,3
∑У	∑Х1	∑Х2	∑Х1^2	∑Х2^2	∑Х1Х2	∑УХ1	∑УХ2	∑У^2

х¯=∑х/n; σ²=х¯² – (х¯)²; r=((ху¯) – х¯у¯)/σ_хσ_у

у¯=160 тыс.руб

х¯₁=4,45 млн.чел.

х¯₂=19,5 %.

σ_у=57,8 тыс.руб.

σ_х1=1,2513 млн.чел.

σ_х2=4,6458 %.

r _у1=0,3392 r_у2=0,5071 r₁₂=0,5806

Корреляционная матрица

	У	Х1	Х2
У		0,3392	0,5071
Х1	0,3392		-0,5806
Х2	0,5071	-0,5806

Составим систему нормальных уравнений в стандартизированном виде:

0,3392=β₁ – 0,5806β₂

0,5071=-0,5806 β₁+β₂

β₁=0,9558

β₂=1,062

t_у=0,9558t₁+1,062t₂. (β₂>β₁) – фактор х₂ больше влияет на у, чем фактор х₁.

а_j= β_jσ_у/σ_хj

а₀=у¯– а₁х¯₂ – а₂х¯₂.

Из уравнения у¯=а₀+а₁х¯₁+а₂х¯₂.

а₁= β₁σ_у/σ_х1=0,9558*57,8/1,2513=44,15

а₂= β₂σ_у/σ_х2=1,062*57,8/4,6458=13,21

а₀=у¯– а₁х¯₁ – а₂х¯₂=160 – 44,15*4,45 – 13,21*19,5=–294.

у¯_х=-294+44,5х₁+13,21х₂ – уравнение регрессии.

Вывод: с ростом численности обслуживаемого населения на 1млн.чел. при исключении влияния другого фактора (рентабельности) чистая прибыль возрастает на 44,15 тыс.руб., а при неизменной численности населения с ростом рентабельности на 1% чистая прибыль повысится на 13,21 тыс.руб.

Коэффициент множественной корреляции:

R²= β₁*r_у1+ β₂*r_у2=0,9558*0,3392+1,062*0,5071=0,8627

R=√R²=√0,8627=0,929.

R² и R близки к 1, следовательно, при построении двухфакторной модели учтены важные факторы увеличения прибыли.

σ¯_ост=1 – R²=1 – 0,8627=0,1373.

Следовательно, на долю неучтенных факторов=13,73% дисперсии признака-результата.

Рассчитываем эластичность по каждому фактору и по их совокупности:

Э₁=а₁*х¯₁/у¯=44,15*4,45/160=1,23.

Э₂= а₂*х¯₂/у¯=13,21*19,5/160=1,61.

∑Э_j=2,84.

Эластичность по каждому фактору и в целом по совокупности больше 1, следовательно, чистая прибыль увеличивается в большей степени, чем факторы. С увеличением каждого фактора на 1% следует ожидать увеличения чистой прибыли на 2,84%.

Дата добавления: 2014-01-13