Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на n частей ∆S1, ∆S2,…, ∆Sn (причем теми же символами ∆S1, ∆S2,…, ∆Sn будем обозначать и площади соответствующих частей) и выберем в каждой части точку Рi.

Пусть в области D задана функция z=f(x,y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi: (1)

Опр. 1. Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D.

Замечание. 1. С геометрической точки зрения (при ) интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями ΔSi и высотами f(Pi).

Опр. 2. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при n→∞ и max∆Si →∞, не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается Область D при этом называется областью интегрирования.

Замечание 2. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области D точки, значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(x,y) является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие где i – некоторое разбиение, а Si и si – соответственно верхняя и нижняя интегральные суммы.

Замечание 3. Если функция f(x,y) непрерывна на D, то она интегрируема по этой области.

Свойства двойных интегралов:

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x,y) интегрируема в D, то kf(x,y) тоже интегрируема в этой области, причем

2. Если в области D интегрируемы функции f(x,y) и g(x,y), то в этой области интегрируемы и функции f(x,y)±g(x,y), и при этом

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x,y) и g(x,y) выполняется неравенство f(x,y)≤g(x,y), то

4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и функция f(x,y) непрерывна в области D, то

5. В случае интегрируемости на D функции f(x,y) в этой области интегрируема и функция | f(x,y) |, и имеет место неравенство

6. где SD – площадь области D.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x,y) удовлетворяет неравенству m≤f(x,y)≤M, то

Следствие ( теорема о среднем).

В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х00), в которой f(х00)=μ, то есть

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Экстремумы функций нескольких переменных. Опр. 3.Пусть функция z=f(x;у) определена на множестве D и точка М(х;у) | Криволинейные интегралы
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 361; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.