Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Пусть поток реальной жидкости, обладающей вязкостью, дви­жется в русле, ограниченном неподвижными стенками. При этом возникает трение, что приводит к существенной неравномерности распределения скоростей по сечению потока (рис. 3.5), а также к потерям энергии при перемещении жидкости от одного сечения к другому.

Получим уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, основываясь на том, что оно является законом сохранения энер­гии для движущейся жидкости. Вывод этого уравнения проведем в два этапа. На первом этапе учтем неравномерность распределения скоростей по сечению потока, а на втором учтем и потери энер­гии.

При выводе будем считать, что в пределах выбранных сечений

гидростатический напор остается постоянным:

Z += const. (3.7)

Рис. 3.5. Схема потока реальной жидкости

Это справедливо для сечений с параллельно струйным течени­ем жидкости, т.е. когда эти сечения являются плоскими. Поэтому уравнение которое будет получено ниже, может использоваться для плоских или близких к ним сечений.

На первом этапе определим формулу для вычисления мощности N потока реальной жидкости в его сечении. Вычисление этого параметра затруднено тем, что из-за перераспределения скоростей (см. рис. 3.5) разные слои жидкости несут различное количе­ство энергии. Для определения мощности N в сечении (например, в сечении 1— 1 на рис. 3.5) выберем струйку жидкости бесконечно милой поперечной площади dS, в пределах которой скорость жид­кости будем считать постоянной, равной v. Тогда полный напор (или полная удельная энергия) в сечении струйки

H=Z+ (3.8)

Мощность струйки dN в сечении площадью dS равна произведению удельной энергии Н и веса жидкости, которую проносит поток через это сечение в единицу времени, т.е. элементарного носового расхода dQ_G. Тогда с учетом (3.6) и (3.1) получим мате­матическую зависимость для мощности струйки

dN=GdQg=(Z+)pgdQ (3.9)

Мощность всего потока в сечении найдем, просуммировав мощ­ности всех элементарных струек, т.е. вычислив интеграл по пло­щади S от выражения (3.9):

После математических преобразований зависимость для мощности потока реальной жидкости принимает следующий вид:

N=pg(z+)Q (3.10)

где α — безразмерный коэффициент, определяемый по формуле

(3.11)

Этот коэффициент, называемый коэффициентом Кориолиса, учитывает неравномерность распределения скорости жидкости сечении реального потока. Если числитель и знаменатель в форму­ле (3.11) умножить на р/2, то станет очевидно, что коэффициент а есть отношение действительной кинетической энергии реального потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока в том же сечении, но посчитанной по средней скорости жидкости в данном сечении. В этом заключается физический смысл коэффи­циента Кориолиса.

Алгебраическое выражение, ограниченное скобками в (3.10), принято называть средним значением полного напора в сечении реального потока, т.е.

H_ср=z+ (3.12)

Средний напор H_ср широко используется в практических расче­тах, так как является важнейшим параметром, характеризующим механическую энергию (или мощность) потока реальной жидко­сти. Для подтверждения этого решим уравнение (3.10) относительно H_ср с учетом (3.12). Тогда получим

Hср=. (3.13)

Из анализа зависимости (3.13) следует, что при постоянном расходе Q средний напор H_ср пропорционален мощности N ив пределах данного потока однозначно определяет эту мощность. Поэтому средний напор H_ср, вычисляемый с учетом неравномерно­сти распределения скоростей в сечении по формуле (3.12), в даль­нейшем будем использовать в качестве основного параметра, харак­теризующего механическую энергию потока реальной жидкости.

Учтем теперь потери энергии, возникающие при движении жид­кости. В реальных потоках из-за этих потерь среднее значение полного напора в в конечном сечении всегда меньше, чем в начальном сечении, т.е. H_ср1 > Н_ср2. Поэтому при записи уравнения баланса (средних напоров) в его правую часть добавляют слага­ете ∑h_пот учитывающее потери удельной энергии. Тогда урав­нение баланса принимает вид

Hср1 = Н_ср1 + ∑h_пот,

или с учетом (3.12)

z1++α1=z2++α1+∑h_пот (3.14)

Уравнение (3.14) носит название уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

При использовании этого уравнения в дальнейшем индексы «ср» будем опускать. Сравним уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости (3.6) и уравнение для потока реальной жидкости (3.14). Из этого сравнения следует, что в последнем уравнении дополнительно присутсвуют α и ∑h_пот.

При равномерном распределении скоростей по сечению потока α=1 (поток идеальной жидкости). В потоках реальной жидкости коэффициент Кориолиса в большинстве случаев лежит в пределах 1<α≤2.

Суммарная потеря полного напора ∑hпот на участке между на­чальным и конечным сечениями складывается из суммы потерь удельной энергии во всех гидравлических сопротивлениях, распо­ложенных на рассматриваемом участке потока. В гидравлике эти потери энергии принято делить на две группы: местные потери и потери на трение по длине. Местные потери h_M — это потери в местных (локальных) гид­равлических сопротивлениях, к которым относятся поворот, су­жение или расширение потока, а также различные гидравличес­кие устройства (вентили, жиклеры и т.д.). Потери в большинстве этих сопротивлений вызваны вихреобразованием. Как показывает практика, они пропорциональны квадрату скорости жидкости, а для оценки их величины используется формула Вейсбаха

= ζ (3.15)

где С, — безразмерный коэффициент, определяющий потери в дан­ном местном сопротивлении; v — средняя скорость в трубопрово­де, в котором установлено местное сопротивление.

Второй вид гидравлических потерь — потери на трение по дли­не — это потери, которые имеют место в длинных прямых трубах постоянного сечения. Потери на трение по длине вызваны как внутренним трением в жидкости, так и трением о стенки трубы, Эти потери пропорциональны длине трубы l и обратно пропорциональны ее диаметру d. Они имеют достаточно сложную зависимость от средней скорости жидкости v (это будет рассмотрено позднее), но во всех случаях для их оценки может быть использована универсальная для гидравлики формула Дарси

Hтр=λ (3.16)

где λ — безразмерный коэффициент потерь на трение по длине, который принято называть коэффициентом Дарси.

Следует отметить, что определение потерь энергии при расчете!! гидравлических систем является одной из наиболее важных проблем гидравлики.

Дата добавления: 2014-01-13