Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.

Итак, матрица удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом , причем выражение –

ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует, что , и значит, что .

Достаточность. Если , то угловые миноры матрицы отличны от нуля и можно построить канонический базис квадратичной формы , в котором –

канонический вид квадратичной формы . Поскольку , то положительно определена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей

.

Задача о приведении кривой к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы этой кривой.

Пусть и – собственные значения матрицы , а и – ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям и .

Ортонормированные векторы и называются главными направлениями этой кривой.

Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .

Тогда ортогональное преобразование

приводит квадратичную форму к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой системы координат .

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало , получим канонический вид уравнения в системе координат . В зависимости от чисел эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

Контрольные вопросы к теме

1. Понятие квадратичной формы.

2. Построение матрицы квадратичной формы.

3. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

4. Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.

5. Канонический базис Якоби.

6. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Дата добавления: 2014-01-13