Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков , где . Если при этом , то последовательности и имеют равные пределы:

.

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности к конечному пределу означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Коши.

Критерий Коши. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда такое, что выполняется неравенство: .

Дата добавления: 2014-01-13