III Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Лекция 14. Вероятностные методы принятия решений

Правила критериев

1) Правило max-max. Выбирается число, которое соответствует наибольшему доходу (в нашем примере это «30», т.е.рисковое решение).

2) Правило max-min. Это политика очень осторожного человека: пусть немного, но доход должен быть. Это будет «6» в первой строке – максимальное из минимальных чисел (см.матрицу по доходам).

3) Правило min-max. Это правило для человека, который понимает, что могут быть потери от неиспользованных возможностей наряду с распродажами и хотел бы выбрать такой вариант, который гарантировал бы минимальные потери. Поэтому отмечаем в каждом столбце максимальные потери, т.е.24,18,12,12,16, затем выбираем тот вариант, где потери минимальные – это величина «12» (см.матрицу по убыткам).

в задачах создания резерва запасов.

I Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий).

Если А и В – 2 несовместных события, то вероятность того, что произойдет одно из них равная сумме их вероятностей.

РАилиБ = РА + РБ (14.1)

Несовместные события – когда появление одного исключает появление другого.

Пример: Вероятность того, что товар приобретен в Италии Ри = 0,4, а в Турции Рт = 0,3.

Ри или т = Ри + Рт = 0,4+0,3=0,7

Следствия:

1) Сума вероятностей несовместных событий =1. РА + РВ = 1

3) Вероятность противоположных событий равна разности между 1 и вероятностью события.

4) РĀ= 1- РА (14.2)

II Теорема умножения вероятностей.

Если А и В – 2 совместных независимых события, то вероятность того, что произойдут оба события имеет вид: РАиВ = РА*РВ (14.3)

Независимые события – события, при которых вероятность одного из них не меняется от того, что произошло другое событие.

Пример: Вероятность летной погоды Рл = 0,9, а вероятность того, что при условии летной погоды груз будет доставлен своевременно Рд = 0,8. Какова вероятность, что груз будет доставлен своевременно.

Рсв = Рл * Рд = 0,9*0,8=0,72

Если А и В – 2 совместных события, то вероятность наступления одного из них имеет вид:

РАилиВ = РА + РВ - РА * РВ (14.4)

Примеры: Автомобиль снабжен двумя противоугонными устройствами Рм = 0,9 Рэ = 0,8. Какова вероятность, что машину не угонят?

Рм или э = Рм + Рэ – Рм * Рэ = 0,9+0,8-0,9*0,8=1,7-0,72=0,98

Задача создания резерва запасов (пекарня).

Предприятие печет хлеб на продажу магазинам.

Себестоимость - Сп продукции составляет 2 рубля.

Цена продажи - Цп = 3 руб.

Априорная вероятность объема продаж приведена в таблице:

Спрос в тыс. руб.						Всего
Частота наступления спроса						50 дней
Рс = m/n	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	Сумма =1

При объеме продаж М=10 тыс. изделий, объем выпуска N=10 тыс. изделий. При этом запасов сырья на складе достаточно чтобы произвести З п = 10 тыс. изделий. Какой резерв запаса сырья надо создать, чтобы обеспечить максимальную выручку от продаж с минимальным риском.

Решение:

1) Строим матрицу доходов:

N M	maxmin
				-2	-6
					maxmax

Д = М * Ц – С * N (14.5)

2) Строим матрицу потерь

N/ M

Сп = |M - N|*C (14.6)

Рассчитываем риск как произведение потерь на вероятность их наступления:

R=Сп*Р (Сп) (14.7)

Строим матрицу рисков:

N Рсп
0,1		0,4	0,8	1,2	1,6
0,2	0,4		0,8	1,6	2,4
0,3	1,2	0,6		1,2	2,4
0,3	1,8	1,2	0,6		1,2
0,1	0,8	0,6	0,4	0,2

Матрица рисков получена путем умножения вектора-столбца Рсп на квадратную матрицу М*N.

Из матрицы рисков можно рассчитать суммарные риски, по каждому столбцу матрицы рисков. ∑ Ri = 4,2; 2,8; 2,6; 4,2; 7,6 (14.8)

Из (17.8) видно, что минимальный риск = 2,6 тыс. изделий. Это риск недобора этих изделий при наличии запаса сырья на складе.

Строим матрицу выручки В:

N / Рсп
0,1		0,6	0,2	-0,2	-0,6
0,2		2,4	1,6	0,8
0,3		3,6	4,2		1,8
0,3		3,6	4,2	4,8	3,6
0,1		1,8	1,4	1,6	1,8

Матрица выручки находится путем умножения вектора столбца (Рсп) на матрицу доходов.

Вероят. = Рсп*Д (14.9)

Рассчитаем суммарную выручку по каждому столбцу:

∑в = 10; 11,4; 11,6; 10; 6,6

Суммарная выручка будет максимальна при запасах сырья на складе не менее, чем на изготовление 14 тыс. изделий. Максимальная выручка В = 11,6 тыс. от реализации может быть обеспечена с минимальным риском отклонений от этой выручки на 2,6 тыс.

Дата добавления: 2014-01-13