Контрольні запитання. Тема 4. Довільні системи лінійних рівнянь

План

Тема 4. Довільні системи лінійних рівнянь

1. Довільні системи довільних алгебраїчних рівнянь та їх розв’язання. Теорема Кронекера- Капеллі. Фундаментальна система розв’язків.

2. Однорідна система лінійних рівнянь.

3. Власні значення та власні вектори.

1. Нехай задано систему лінійних рівнянь

(1)

з n невідомими. Розглянемо дві матриці, які можна отримати з цієї системи

А= та - розширена матриця системи, складена з звичайної за допомогою додавання стовпця вільних членів.

Справедливе наступне твердження

Теорема Кронекера-Капеллі.

Для того, щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи А дорівнював рангу розширеної матриці:

.

(Без доведення).

Базисними рядками і стовпцями матриці А, називаєм ті її рядки і стовпці, на перетині яких розміщений базисний мінор. Базисними невідомими системи (1) називають ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюють базисний мінор, всі інші невідомі називають вільними.

При розв’язуванні сумісної системи (1) можливі такі випадки:

1. =n, де n – число невідомих.

(число базисних невідомих рівне числу невідомих). У цьому випадку система має єдиний розв’язок, який визначається за формулами Крамера.

2. .У цьому випадку систему (1) замінюють рівносильною, яка складається з r рівнянь, в які входять елементи базисного мінора. В лівих частинах цих рівнянь залишають r базисних невідомих, а інші невідомі (вільні) переносяться в праві (їх буде (n-r)).

Базисні невідомі визначають через вільні невідомі. Система в цьому випадку має безліч розвязків, так як вільні невідомі можуть набувати будь-яких значень.

Наприклад.

Проведемо ряд елементарних перетворень:

®®.

=2

Система сумісна, крім того - r<n, то система має безліч розв’язків.

; .

Довільна система з (n-r) лінійно незалежних розв’язків називається фундаментальною системою розв’язків. Наприклад, у вище наведеному прикладі x ₃ та х ₄ можуть бути оголошенні як фундаментальні розв’язки системи, а розв’язки х ₁, х ₂- залежними від них.

2. Система (1) називається однорідною, якщо .

(2)

Однорідна система завжди сумісна, бо . Крім того, система (2) завжди має нульовий розв¢язок. Дійсно, очевидно, що - розв’язок системи (2).

Теорема 1. Для того, щоб однорідна система (2) мала ненульові розв’язки, необхідно і достатньо, щоб r(A)<n.

Нехай кількість рівнянь однорідної системи співпадає з кількістю невідомих, тобто n=m.

(3)

Тоді визначник матриці має вигляд D=.

Теорема 2. Для того, щоб однорідна система (3) n рівнянь з n невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно і досить, щоб визначник цієї системи дорівнював нулю.

3. Кажуть, що матриця А= задає лінійне перетворення, якщо для двох векторів та справджується рівність

=А (1)

Довільний ненульовий вектор називається власним вектором лінійного перетворення, заданого матрицею А, якщо знайдеться таке число l, що виконується рівність А=l. Число l при цьому називається власним значенням лінійного перетворення А. З означення видно, що при перетворенні вектор переходить у колінеарний йому вектор l.

Нехай власний вектор =. Тоді рівність (1) набуде вигляду: =l,

або, на основі рівності двох матриць,

Ю (2)

З цієї системи необхідно визначити координати l, m, n. Так як - ненульовий вектор, то хоч одна з цих координат нерівна нулю, тобто, система має нетривіальний розв’язок. Однорідна система має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник рівний нулю, то

=0. (3)

Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням матриці А лінійного перетворення (1). Розв’язуючи рівняння (3) знаходимо l, а після того розв’язуючи систему (2) знаходимо координати власного вектора . Якщо значень l є кілька, то і власних векторів є кілька.

Наприклад, знайдемо власні вектори і власні значення, лінійного перетворення, заданого матрицею

А=.

Розв’язок.

Складемо характеристичне рівняння:=0. Розкладемо за елементами третього рядка =(3-l)=(3-l) ((l-3)l-4)=0.

Власними значеннями матриці є l₁ = -1; l₂ = 3; l₃=4.

Підставимо власне значення l₁ = -1 в систему (2) і отримаємо:

Отже, власним вектором, що задовільняє власне значення l₁ = -1, є довільний вектор вигляду =(l, 2l, 0).

Аналогічно знаходимо два інші власні вектори.

1. Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі.

2. Які невідомі називаються базисними?

3. Сформулюйте критерій існування нетривіального розв’язку однорідної системи.

4. Що називається власним вектором та власним значенням лінійного перетворення?

5. Відтворіть алгоритм пошуку власних значень та власних векторів лінійного перетворення.

Дата добавления: 2014-01-13