Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Арифметические действия с шестнадцатеричными числами

Таблица сложения некоторых шестнадцатеричных чисел имеет вид (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

А

В

С

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

A

B

C

D

E

F

1A

B

B

C

D

E

F

1A

1B

C

C

D

E

F

1A

1B

1C

D

D

E

F

1A

1B

1C

1D

E

E

F

1A

1B

1C

1D

1E

F

F

1A

1B

1C

1D

1E

1F

1A

1B

1C

1D

1E

1F

Пример. Сложить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.

	С
	В

Процесс образования результата с использованием приведенной таблицы описан ниже:

а) С₁₆ + В₁₆ = 17₁₆; 7 остается в разряде; 1 переносится в следующий разряд;

б) 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ – единица переноса.

Таким образом: 1 С₁₆ + 7 В₁₆ = 9 7₁₆.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

1С16= 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Правила вычитания

Пример. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97 шестнадцатеричное число 7В.

	В
	С

Процесс образования результата описан ниже:

а) поскольку 7₁₆< В₁₆ и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде. Тогда 17₁₆ – В₁₆ = С₁₆;

б) поскольку единица была занята в предыдущем шаге, старший разряд уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 8₁₆ – 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом: 9 7₁₆ - 7 В₁₆ = 1 С₁₆.

Для проверки результата используем данные из предыдущего примера.

Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 5. Перевести число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

0,	* 8
	* 8

Получаем: 0,65625₁₀=0,52₈

Пример 6. Перевести число 0,65625₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

0,	* 16
(А)	* 16

Получаем: 0,65625₁₀=0,А8₁

Пример 7. Перевести десятичную дробь 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления.

0,	* 2
	* 2
	* 2
	* 2

Получаем: 0,5625₁₀=0,1001₂

Пример 8. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.7₁₀.

0,	*2
	*2
	*2
	*2

...

Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,7₁₀. Так, за четыре шага мы получаем число 0,1011₂, а за семь шагов число 0,1011001₂, которое является более точным представлением числа 0,7₁₀ в двоичной системе счисления, и т.д. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

Дата добавления: 2014-01-13