Геометрический смысл линейного неравенства и системы линейных неравенств

Пусть задано линейное неравенство с двумя переменны­ми х ₁ и х ₂

a ₁ х ₁ +a ₂ х ₂£ b (5.1)

Если х ₁ и х ₂ - координаты точки плос­кости, то множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (5.1), называется областью ре­шений этого неравенства. Область решений неравенства (5.1) - полуплоскость, границей которой служит

прямая a ₁ х ₁ +a ₂ х ₂ = b.

Для того чтобы установить, какая из двух полуплоскостей соответствует неравенству (5.1), нужно взять точку, не ле­жащую на граничной прямой. Если для координат этой точ­ки данное неравенство верно, то область ре­шений - это полуплоскость, в которой находится выбран­ная точка. Если же данное неравенство неверно, то область решений нера­венства – другая полуплоскость, в которой выбранная точка не лежит.

Пример. Построить полуплоскость, определяемую неравен­ством: –2 х ₁ + З х ₂³ –6.

Решение. Данное неравенство после почленного умножения на –1 примет вид: 2 х ₁ – З х ₂£ 6. Построим граничную прямую 2 х ₁ – З х ₂= 6, или, х ₂ = 2 х ₁/3-2 или

Эта прямая отсекает на осях координат соответственно отрезки a = 3, b = –2 (рис. 5.9).

Возьмем точку O (0;0), не лежащую на прямой 2 х ₁ – З х ₂= 6.Для ее координат неравенство 2 х ₁ – З х ₂£ 6 выполняется, так как 2 • 0 – 3 • 0 = 0 < 6. Следовательно, данное неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой 2 х ₁ – З х ₂= 6, в которой лежит начало координат.

Пример. Построить область решений неравенства:

2 х ₁ + х ₂< 0.

Решение. Граничная прямая 2 х ₁ + х ₂ = 0 или х ₂ = –2 х ₁, проходит через начало координат и точку (1;-2). Возьмем точку (1;1), не лежащую на этой прямой. Для ее координат неравенство 2 х ₁ + х ₂£ 0 не является верным, так как 2.1+1=3>0. Значит, область решений неравенства 2 х ₁ + х ₂£ 0 - это полуплоскость, в которой точка (1;1) не лежит (рис. 5.10).ограниченная прямой 2 х ₁ + х ₂= 0,

Пусть задана система линейных неравенств:

5.2

Область решений системы линейных неравенств (5.2) - это множество точек плоскости, координаты которых удовлетво­ряют одновременно всем неравенствам системы. Значит, область решений системы (5.2) – это пе­ресечение (общая часть) полуплоскостей, определяемых неравенствами сис­темы. Таким образом, получаем многоугольную область, огра­ниченную прямыми

a ₁₁ х ₁+ а ₁₂ х ₂ = b ₁,

a ₂₁ х ₁+ а ₂₂ х ₂ = b ₂,

....

a_{m 1} х ₁+ а_{m 2} х ₂ = b_m.

Пример. Построить область решений системы линейных неравенств:

5.3

Решение. Построим каждую из полуплоскостей, опреде­ляемых неравенствами системы (5.3).

1. 3 х ₁ – 2 х ₂³ –6. Граничная прямая 3 х ₁ – 2 х ₂ = –6, или отсекает на осях координат отрезки(–2) и 3. Для точки O (0;0), не лежащей на этой прямой, данное неравен­ство верно. Поэтому оно определяет полуплоскость, в которой лежит начало координат.

2. 3 х ₁ +х ₂ > 3. Граничная прямая 3 х ₁ +х ₂ = 3, или х ₁ / 1 + х ₂ / 3 = 1 отсекает на осях отрезки 1 и 3. Для точкиO(0;0), не лежащей на этой прямой, данное неравенство не является верным. Значит, оно определяет полуплоскость, в которой не лежит начало координат.

3. Неравенство х ₁ £ 3 определяет полуплоскость, лежащую левее прямой х ₁ = 3.

4. Неравенство х ₁ ³ 0 определяет полуплоскость, лежащую правее прямой х ₁ = 0 (оси ординат).

5. Неравенство х ₂ > 0 определяет полуплоскость, лежа щую выше прямой х ₂ = 0 (оси абсцисс).

Многоугольная область ABCD, являющаяся результатом пересечения пяти построенных полуплоскостей, изображена на рис. 5.11.

Дата добавления: 2014-01-13