Волновая функция. Уравнение Шредингера

Основу математического аппарата квантовой механики составляет тот факт, что каждое состояние системы микрочастиц может быть описано некоторой функцией координат и времени ψ(x, y, z, t). Ее называют волновой функцией (пси-функцией). В общем случае эта функция является комплексной. Физический смысл ее заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружить частицу в пределах объема dV: dP = A│ψ│ ² dV, где А – некоторый коэффициент пропорциональности, который находится из условия

(1)

(звездочка означает комплексное сопряжение). Это позволяет переопределить пси-функцию таким образом, чтобы было выполнено условие нормировки для самой волновой функции:

(2)

Из смысла пси-функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции можно только предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в данном месте пространства. Сама волновая функция является решением дифференциального уравнения, которое впервые получил Шрёдингер в 1926 г. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением квантовой механики и не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными данными. Само уравнение выглядит следующим образом:

(3)

где - оператор Лапласа; m – масса частицы; U (x, y, z, t) - функция, градиент которой, взятый со знаком минус, определяет силу, действующую на частицу. Если функция U не зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то U не зависит явно от времени, и в этом случае решение уравнения Шрёдингира можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых зависит только от времени, другой – от координат:

(4)

где Е – полная энергия частицы (в случае стационарных полей остается постоянной). После подстановки этого выражения в исходное уравнение Шрёдингира и сокращения на экспоненту получаем уравнение Шрёдингира для стационарных состояний:

(5)

В дальнейшем будем иметь дело в основном с этим уравнением. Иначе это уравнение можно переписать в следующем виде:

(6)

где под U будем понимать потенциальную энергию частицы. Из физического смысла пси-функции следует, что она должна быть однозначной, непрерывной и конечной, т.е. отвечать стандартным условиям. Иногда встречаются ситуации, когда имеет смысл не квадрат модуля волновой функции, а отношение квадратов модулей волновых функций, взятых в разных точках пространства. Это отношение дает относительную вероятность обнаружения частицы в разных точках пространства.

Известно, что уравнение Шрёдингера для стационарных состояний имеет решения не при всех значениях параметра E, а только при некоторых, называющихся собственными значениями энергии. Тогда соответствующие им функции ψ(x, y, z) называются собственными функциями.

Условия, налагемые на функцию ψ

Для того, чтобы решение уравнения Шрёдингера имело смысл, необходимо, чтобы волновая функция ψ удовлетворяла следующим условиям:

1). Однозначность: ψ должна быть однозначной функцией координат и времени, в противном случае мы получим, что для одной и той же точки с радиусом-вектором r имеются две и более вероятности, что лишено всякого физического смысла.

2) Конечность: Чтобы вероятность была конечной (с учетом нормировки) необходимо, чтобы ψ была всюду конечной и вместе со своими первыми производными обращалась в 0 на бесконечности.

3). Непрерывность: состояние квантовой системы в пространстве и времени должно меняться непрерывно (в отличие от самих физических величин). А это значит, что ψ и ее производные должны быть непрерывными.

Дата добавления: 2014-01-11