Лекция 53-54. Действия с вероятностями случайных событий . Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия теорем слодения и умножения вероятностей

Классификация событий. Сумма и произведение событий.

Определение 1. Два случайных события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае событие А и В называются совместными.

Пример 1. Попадание А и непопадание В одного и того же стрелка в мишень при одном выстреле – события несовместные.

Пример 2. Попадание А стрелка в мишень в первом выстреле и промах В во втором – события совместные.

Определение 2. Два случайных события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появится или не появится другое событие. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Отметим сразу, что несовместные события всегда зависимы. Действительно, пусть А и В – несовместные события. Тогда при появлении события А появление события В невозможно, а значит = 0. А при непоявлении события А появление события В возможно, и тогда ≠ 0. Таким образом, вероятность появления события В зависит от того, появится или не появится событие А. Следовательно, несовместные события А и В действительно являются зависимыми.

А вот если события А и В совместные, то они могут быть как зависимыми, так и независимыми. Подтвердим это на примере.

Пример 3. Пусть из колоды игральных карт (36 карт) вынимают наудачу одну за одной две карты. И пусть событие А состоит в том, что первая вынутая карта окажется тузом, а событие В – что и вторая карта окажется тузом. Рассмотрим два варианта испытания:

а) первая вынутая карта возвращается в колоду;

б) первая вынутая карта не возвращается в колоду.

Очевидно, что в обоих вариантах события А и В совместны. Исследуем их на зависимость –независимость.

а) В этом варианте вероятность появления события В (вынимания второго туза) не зависит, очевидно, от того, произошло или не произошло перед этим событие А (вынимание первого туза) и равна = 4/36=1/9. Следовательно, в варианте а) имеем совместные и независимые события А и В.

б) В этом варианте, если событие А произошло, то = 3/35 (останется 35 карт, и из них три туза). А если событие А не произошло (первая вынутая карта тузом не оказалась), то = 4/35 (останется 35 карт, и из них четыре туза) Следовательно, в варианте б) имеем совместные и зависимые события А и В.

Связь между совместностью-несовместностью и зависимостью - независимостью двух событий можно изобразить графически в виде схемы (1):

События А и В

Несовместные

Совместные

(1)

	Зависимые			Зависимые

Понятия совместности-несовместности и зависимости-независимости обобщаются и на случай группы из нескольких случайных событий (А₁; А₂; _…А_n)

Определение 3. События (А₁; А₂; _…А_n) называются попарно несовместными, если появление каждого из них исключает появление любого другого (то есть если любая пара из группы событий (А₁; А₂; _…А_n) несовместна). В противном случае события (А₁; А₂; _…А_n) называются совместными.

Определение 4. События (А₁; А₂; _…А_n) называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и любое другое событие, состоящее в появлении и непоявлении остальных событий, являются событиями независимыми. В противном случае события (А₁; А₂; _…А_n) называются зависимыми.

Пример 4. Пусть из коробки, содержащей три шара (синий, красный, зелёный) наудачу по одному вынимают три шара, каждый раз опуская вынутый шар в коробку. И пусть (А; В; С) – события, состоящие в вынимании последовательно синего, красного и зелёного шара. Очевидно, что эти три события – совместные и независимые в совокупности.

Если же вынутые шары в коробку не возвращать, то события (А; В; С) – совместные и зависимые.

Дата добавления: 2014-01-13