Требования к вычислительным методам

Одной и той же математической задаче можно поставить в соответствие множество различных дискретных моделей. Однако не все они пригодны для практической реализации. Вычислительные алгоритмы, предназначенные для обработки на ЭВМ, должны удовлетворять многообразным и зачастую противоречивым требованиям. Можно выделить две группы требований к численным методам.

Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, и вторая группа ‑ c реализуемостью численного метода на ЭВМ.

К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное проведение решения дискретной задачи.

Поясним эти требования. Предположим, что дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого, но конечного числа алгебраических уравнений. Обычно, чем точнее мы хотим получить решение, тем больше уравнений приходится использовать. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.

Поскольку реальная ЭВМ может оперировать лишь с конечным числом уравнений, на практике сходимость, как правило, не достигается. Поэтому важно уметь оценивать погрешность метода в зависимости от числа уравнений, составляющих дискретную модель. По той же причине стараются строить дискретную модель таким образом, чтобы она правильно отражала качественное поведение решения исходной задачи даже при сравнительно небольшом числе уравнений.

Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Предположим, что исходная математическая задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель этой задачи должна быть построена таким образом, чтобы свойство корректности сохранялось.

Таким образом, в понятие корректности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивости по входным данным. Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость решения от входных данных, равномерная относительно числа уравнений, составляющих дискретную модель.

Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с возможностью реализации данной дискретной модели на данной ЭВМ, т.е. с возможностью получить на ЭВМ решение соответствующей системы алгебраических уравнений за приемлемое время.

Основным препятствием для реализации корректно поставленного алгоритма является ограниченный объем оперативной памяти ЭВМ и ограниченные ресурсы времени счета. Реальные вычислительные алгоритмы должны учитывать эти обстоятельства, т.е. они должны быть экономичными как по числу арифметических операций, так и по требуемому объему памяти.

Дата добавления: 2014-01-13