Последовательное распространение вероятностей

Распространение вероятностей в ЭС

Вероятности событий распространяются по БЗ экспертной системы на основе правила Байеса для вычисления всех апостериорных вероятностей гипотез при условии наблюдаемых свидетельств. Эти апостериорные вероятности дают ранжированную информацию о потенциально истинной гипотезе. Рассмотрим пример, иллюстрирующий этот процесс.

Пример. Предположим, что в некоторой БЗ имеется всего три взаимно независимых гипотезы: H₁, H₂, H₃, которые имеют априорные вероятности: p(H₁), p(H₂), p(H₃), соответственно. Правила БЗ содержат два условно независимых свидетельства, которые поддерживают исходные гипотезы в различной степени. Априорные и условные вероятности всех гипотез и свидетельств этого примера имеют следующие значения:

p(i)
p(Hi)	0,5	0,3	0,2
p(E1|Hi)	0,4	0,8	0,3
p(E2|Hi)	0,7	0,9	0,0

При этом исходные гипотезы характеризуют событие, связанное с определением надежности некоторой фирмы:

H₁ - “средняя надежность фирмы”,

H₂ - “высокая надежность фирмы”,

H₃ - “низкая надежность фирмы”.

Событиями, являющимися условно независимыми свидетельствами, поддерживающими исходные гипотезы являются: Е₁ – “наличие прибыли у фирмы” и Е₂– “своевременный расчет с бюджетом”.

В процессе сбора фактов вероятности гипотез будут повышаться, если факты поддерживают их или уменьшаться, если опровергают их. Предположим, что мы имеем только одно свидетельство E₁ (то есть с вероятностью единица наступил факт E₁). Наблюдая E₁ мы вычисляем апостериорные вероятности для гипотез согласно формуле Байеса для одного свидетельства:

.

Таким образом

,

,

После того как E₁ произошло доверие к гипотезам H₁ и H₃ понизилось, в то время как доверие к H₂ возросло. В тех случаях, когда имеются факты, подтверждающие как событие E₁, так и событие E₂, то апостериорные вероятности исходных гипотез также могут быть вычислены по правилу Байеса:

.

Так как события E₁ и E₂ условно независимые при данных гипотезах H_i, то формулу Байеса можно переписать в виде:

.

Откуда

Хотя исходным ранжированием было H₁, H₂, и H₃, только H₁ и H₂ остались после получения свидетельств E₁ и E₂. При этом H₁, более вероятно, чем H₂.На этом примере мы рассмотрели процесс распространения вероятностей по элементам ЭС при поступлении в неё тех или иных свидетельств.

Однако реально, распространение вероятностей происходит поэтапно с суммированием отдельных свидетельств и их влияния на условную вероятность по мере поступления отдельных E_i. Это можно сделать, используя априорные и апостериорные вероятности, следующим образом:

1. Задаём p(H_i) – априорную вероятность событий H_i.

2. Для полученных свидетельств E_j записываем p(E_j | H_i).

3. С учётом теоремы Байеса подсчитываем p(H_i | E_j) в зависимости от исхода E_j, то есть вычисляем апостериорную вероятность события H_i.

4. Теперь можно не обращать внимания на все наступившие E_j и переобозначить текущую апостериорную вероятность события H_i, как новую априорную вероятность H_i. Итак, пусть p(H_i) равна p(H_i|E_j) в зависимости от значения E_j.

5. Затем выберем новое свидетельство для рассмотрения и перейдём к п.2.

Проиллюстрируем эту последовательность на приведенном выше примере в предположении, что сначала поступило свидетельство E₂. Тогда:

Полученные вероятности можно принять за новые апостериорные вероятности гипотез H₁, H₂, и H₃, то есть:

И если теперь дополнительно поступит свидетельство E₂, то новые апостериорные вероятности гипотез могут быть вычислены только на основе вновь поступившего свидетельства:

Из приведенного примера видно, что итерационная процедура последовательного распределения вероятностей по мере поступления свидетельств позволяет получить результаты аналогичные непосредственному применению правила Байеса для случая одновременного двух поступивших свидетельств.

Дата добавления: 2014-01-13