Интерполяция B-сплайнами

Чуть более сложный тип интерполяции – так называемая полиномиальная сплайн-интерполяция, или интерполяция B-сплайнами. В отличие от обычной сплайн-интерполяции, сшивка элементарных B-сплайнов производится не в точках (t_i, х_i), а в других точках, координаты которых обычно предлагается определить пользователю. Таким образом, требование равномерного следования узлов при интерполяции B-сплайнами отсутствует и ими можно приближать разрозненные данные.

Интерполяция B-сплайнами

Сплайны могут быть полиномами первой, второй или третьей степени (линейные, квадратичные или кубические). Применяется интерполяция B-сплайнами точно так же, как и обычная сплайн-интерполяция, различие состоит только в определении вспомогательной функции коэффициентов сплайна.

Наиболее приемлем способ, при котором кривая описывается многочленом 3-й степени:

x(t) =	A11 t^3	+	A12 t^2	+	A13 t	+	A14;
y(t) =	A21 t^3	+	A22 t^2	+	A23 t	+	A24;
z(t) =	A31 t^3	+	A32 t^2	+	A33 t	+	A34,

0<t<1 (переход от точки i к i+1 точке)

Кубические уравнения выбраны потому, что для сегментов произвольной кривой:

-не существует представление более низкого порядка, которая обеспечивает сопряжение на границах связи

-при более высоком порядке, появляются осцилляции и волнистость.

Из ряда способов описания бикубических кривых (метод Эрмита, метод Безье и т.п.) наиболее применяем метод В-сплайнов, для которого характерно несовпадение кривой с аппроксимируемыми точками что, однако гарантирует равенство 1-й и 2-й производных при стыковке сегментов.

Форма В-сплайнов наиболее гладкая.

В-сплайн описывается следующей формулой:

x(t)=TMsGsx – обобщенная форма описания кривой для всех методов

Где: T=[t³,t²,t,1] – параметр, определяющий переход от точки Pi к Pi +1

Геометрическая матрица для перехода от точки Pi к Pi+1

Pi-1, Pi, Pi+1, Pi+2 – управляющие точки.

Для трехмерных поверхностей определяется два параметра (непрерывных) S и t, изменение которых дают координату любой точки на поверхности.

Фиксация одной переменной позволяет перейти к построению кривой на поверхности. Общая форма записи (для направления x):

x(S,t)=SCxT^T

где: Cx – коэффициенты кубического многочлена (для определения коэффициентов x, y соответственно Cy,Cz)

Для В-сплайна:

X(S,t)=SMsPxMs^TT^T

Y(S,t)=SMsPyMs^TT^T

Z(S,t)=SMsPzMs^TT^T

P – управляющие точки (16 точек)

(4 по S и 4 по t)

Дата добавления: 2014-01-13