Двумерные аффинные преобразования

Задание графических элементов на плоскости

Виды преобразований

При построении изображений часто приходится иметь дело с ситуациями, когда общее изображение (рисунок) включает в себя целый ряд компонент (подрисунков), отличающихся друг от друга только местоположением, ориентацией, масштабом, т.е. отдельные подрисунки обладают значительным геометрическим сходством.

В этом случае целесообразно описать один подрисунок в качестве базового, а затем получать остальные требуемые подрисунки путем использования операций преобразования.

С помощью операций преобразования можно выполнять следующие действия:

1) перемещать рисунки из одного места экрана в другое;

2) создавать рисунок из более мелких элементов (составных частей);

3) добавлять к существующему рисунку новые элементы;

4) увеличивать размер рисунка для улучшения его наглядности или отображения более мелких деталей;

5) уменьшать размер рисунка для внесения, например, поясняющих надписей или отображения на экране новых рисунков;

6) создавать движущиеся изображения.

Все изменения рисунков можно выполнить с помощью трех базовых операций:

1) переноса (перемещения) изображения;

2) масштабирования (увеличения или уменьшения размеров) изображения;

3) поворота изображения (употребляют также термины вращение, изменение ориентации).

Эти операции называются аффинными преобразованиями. Различают двумерные и трехмерные аффинные преобразования.

Основные геометрические свойства двумерных аффинных преобразований:

1. прямые линии после преобразований остаются прямыми.

2. параллельные прямые - параллельными.

3. Отношения деления отрезков остаются неизменными.

Основные геометрические свойства трехмерных аффинных преобразований:

1. Плоскости после преобразования остаются плоскостями.

2. Параллельные плоскости - параллельными.

Возьмем на плоскости произвольную точку (обозна­чим ее через 0 ) и проведем через нее две взаимно пер­пендикулярные прямые.Выберем на каждой из этих прямых одно из возможных направлений и еди­ный масштабный отрезок. Назовем одну из оснащен­ных таким образом прямых осью абсцисс, или осью Ох, а другую - осью ординат, или осью Оу.

Предложенная конструкция позволяет поставить в соответствие каждой точке М рассматриваемой плоскости, упорядоченную пару чисел х и у - ее координат, являющихся проекциями этой точки на координатные оси Ох и Оу.

Тем самым на плоскости задана координатная система Оху, в ко­торой каждая точка М однозначно описывается своими координа­тами (х,у), что позволяет количественно описывать любые плоские геометрические фигуры.

КООРДИНАТНОЕ ОПИСАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

Рассмотрим какую-нибудь простую геометрическую фигуру, ска­жем треугольник. Обозначим через М₁, Мг и Мз его вершины, а через х₁,у_1, х₂у₂, х₃у₃ - соответствующие координаты этих вершин.

Каждый треугольник однозначно определяется заданием своих вершин. Беря шестерку чисел х₁,у_1, х₂у₂, х₃у₃ и рассматривая их как соответствующие координаты точек, мы получаем три точки на плос­кости (рис. 1.5).

Рисунки:

Конечно, эти точки определяют треугольник однозначно. Однако для того, чтобы описать все точки этого треугольника, необходимо построить еще его стороны, т.е. соединить точ­ки М1, М2 и Мз отрезками прямых (рис. 1.6).

Треугольник можно описать и другим способом, задавая его сторо­ны или, что то же самое, задавая пря­мые, на которых эти стороны лежат (рис. 1.7).

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Прямая представляет собой простейший геометрический объект, который описывается при помощи координат.

Общее уравнение прямой выглядит так:

Ах + Ву + С = 0, (*)

где числа А и В одновременно не равны нулю, т.е. А² + В² > 0.

В самом деле, если В <> 0, то представленное уравнение (*) легко приводится к более привычному виду

у =kx + b, где k=-A/B,b=-C/B.

Если же В = 0, то тогда непременно А <> 0, и уравнение принимает x=a, a=-C/A

Рисунки:

Замечание. Таким образом, треугольник можно описать, предъявив тройку прямых L1, L2,, задаваемых соответственно уравнениями (рис. 1.10).

A1x+B1y+C1=0,

A2x+B2y+C2=0,

A3x+B3y+C3=0.

КООРДИНАТНОЕ ОПИСАНИЕ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Любой выпуклый пятиугольник может быть задан на­бором из пяти последовательно занумерованных точек: М₁, Мг, Мз, М4, М5 - его вершин (рис. 1.11), а значит, набором десяти чисел:

х₁,у_1, х₂у₂, х₃у₃ или набором пяти прямых:L₁,L₂ ,L₃,L₄,L₅, соединяющих его последовательно занумерованные вершины (рис. 1.12),

А_i х + В_i у + С = О,

I = 1, 2, 3, 4, 5.

Замечание. Если заданы уравнения прямых, соединяющих последовательные вершины выпуклого много­угольника, то сами эти вершины находятся как точки пересечения соответствующих прямых. В частности, для того, чтобы вычислить координаты:

Х₂ и Yз вершины М₂, нужно найти решение системы уравнений:

A1x+B1y+C1=0,

A2x+B2y+C2=0,

Дата добавления: 2014-01-13