Знакопеременные ряды

Для знакопеременных рядов приведенные признаки сходимости также

можно применять, но для исследования абсолютной сходимости.

Теорема. Если ряд сходится, то сходится и ряд , причем в этом случае ряд называется абсолютно сходящимся.

Доказательство. Пусть ряд сходится, то есть, сходится последовательность частных сумм . Применим Критерий Коши сходимости последовательности частных сумм , в соответствии с которым для такое, что для справедливо: . Однако при этом критерий Коши выполняется и для частных сумм исходного ряда, так как . Следовательно, последовательность частных сумм исходного ряда имеет предел, то есть, ряд сходится.

Таким образом, если имеется знакопеременный ряд , имеет смысл проверить возможность применения какого-либо признака сходимости к ряду , и если условия сходимости выполняются, исходный ряд сходится абсолютно.

П р и м е р. Ряд сходится абсолютно при .

Дата добавления: 2014-01-13