Ряд Тейлора для регулярной функции

Воспользуемся формулой Тейлора и ее следствием для разложения регулярной функции в ряд Тейлора.

Для степенных рядов в комплексной плоскости справедлива теорема Абеля, аналогичная теореме, доказанной для функций вещественного переменного: если степенной ряд по неотрицательным степеням сходится в точке , то он сходится, причем абсолютно, в любой точке внутри круга с центром радиуса , а если расходится в точке , то расходится и в любой точке вне круга с центром радиуса . Таким образом, для степенного ряда в комплексной плоскости существует круг сходимости, внутри которого ряд сходится, а вне которого расходится. Поэтому формула суммы бесконечной геометрической прогрессии справедлива в комплексной плоскости при .

Пусть точка лежит в области регулярности. Возьмем в качестве кривой C окружность с центром в точке . Тогда для точек , расположенных внутри окружности , так как точка находится на окружности. Применим указанное разложение:

В соответствии с интегральным представлением производных высших порядков имеем .

Следовательно, любая регулярная в области функция представима в виде ряда Тейлора в окрестности любой внутренней точки области регулярности.

Дата добавления: 2014-01-13