Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Числовые характеристики системы двух случайных величин




Начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения на :

Центральным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения -й и s -й степеней соответствующих центрированных величин:

Для дискретных случайных величин начальные и центральные моменты вычисляются, соответственно, по формулам:

;

где - вероятность того, что система примет значения , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин , .

Для непрерывных случайных величин:

; ,

где - плотность распределения системы .

Очевидно, что ; .

Совокупность математических ожиданий и представляет собой характеристику положения центра системы . Геометрически это координаты средней точки на плоскости (центр тяжести), вокруг которой происходит рассеяние всех точек .

Дисперсии величин Х и Y характеризуют рассеяние случайной точки в направлении осей и :

.

.

Особую роль как характеристики системы играет второй смешанный центральный момент , т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин.

Это ковариационный момент (т.е. момент связи, корреляционный момент) случайных величин , . Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой:

а для непрерывных .

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеяния величин и , еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеяние. Поэтому для характеристики степени тесноты связи между величинами в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике , где - средние квадратические отклонения величин и . Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин и .

Две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Обратное верно не всегда. Равенство нулю коэффициента корреляции (корреляционного момента) есть необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величин.

Условие независимости случайных величин - более жесткое, чем условие некоррелированности. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только линейной зависимости между случайными величинами.

Свойства коэффициента корреляции:

, где - константы;

 

Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин , сводится к следующему: n математических ожиданий , характеризующих средние значения величин; n дисперсий , характеризующих их рассеяние; корреляционных моментов

, характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

Дисперсия каждой из случайных величин есть частный случай корреляционного момента, а именно, корреляционный момент величины и той же величины : .

Все корреляционные моменты и дисперсии удобно располагать в виде симметричной по отношению к главной диагонали квадратной корреляционной матрицы случайных величин :

, где ;

В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто пользуются нормированной корреляционной матрицей , составленной из коэффициентов корреляции

; .

Плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой:

Этот закон зависит от пяти параметров: .

Параметры представляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин и ; - их средние квадратические отклонения; - коэффициент корреляции величин и .

Если и не коррелированы, то

Для системы СВ, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость.

Термины "некоррелированные" и "независимые" величины для случая нормального распределения эквивалентны.

Условный закон двухмерного нормального распределения:

Очевидно, что последнее выражение есть плотность нормального закона с центром рассеяния и средним квадратическим отклонением

Из последних формул следует, что в условном законе распределения величины при фиксированном от этого значения зависит только условное математическое ожидание , но не дисперсия.

Прямая называется линией регрессии на . Аналогично прямая есть линия регрессии на .


 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 390; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.