Семейство методов третьего порядка точности

Без доказательства.

Следствие. Если метод Рунге-Кутта аппроксимирует исходное уравнение, то он сходится при , причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство этого утверждения следует из оценки (8.24) и равномерной ограниченности .

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются методы более высокого порядка точности. Рассмотрим трехэтапный метод

, ,

, (8.25)

.

Можно показать, что при определенном выборе параметров данный трехэтапный метод имеет третий порядок аппроксимации:

, ,

, (8.26)

при условиях

, , , , . (8.27)

Таким образом, в общем случае существует двухпараметрическое семейство трехэтапных методов Рунге-Кутта, имеющих третий порядок аппроксимации. Задавая и в качестве свободных параметров, получим из (8.27)

, . (8.28)

Например, полагая , , получим из (8.26) - (8.28) следующий метод третьего порядка аппроксимации:

, ,

, (8.29)

.

Дата добавления: 2014-01-13