Математическая формализация задачи

Постановка задачи

С чего начать? Прежде всего, нужно разобраться, что дано, что требуется получить, как связаны исходные данные и результаты. Иначе говоря, задача должна быть четко сформулирована.

Четко сформулировать задачу — это значит высказать те предположения об изучаемом явлении или объекте, которые позволят выявить исходные данные, определить, что будет служить результатом, и какова связь между исходными данными и результатом.

Под постановкой задачи понимают математическую или иную строгую формулировку решаемой задачи. На этом этапе должно быть четко определено, что дано, и что требуется найти. Так, если задача конкретная, то под постановкой задачи понимают ответ на два вопроса: какие исходные данные известны и что требуется определить. Если задача обобщенная, то при постановке задачи понадобится еще ответ на третий вопрос: какие данные допустимы.

Таким образом, постановка задачи включает в себя следующие моменты:

· сбор информации о задаче; формулировку условия задачи;

· определение конечных целей решения задачи;

· определение формы выдачи результатов;

· описание данных (их типов, диапазонов величин, структуры и т. п.).

При постановке задачи должны быть определены требования:

· ко времени решения поставленной задачи;

· объему необходимых ресурсов, например, оперативной памяти;

· точности достигаемого результата.

Постановка задачи — важная часть (иногда говорят — половина) ее решения.

На этом этапе строится математическая модель - система математических соотношений - формул, уравнений, неравенств и т. д., отражающих существенные свойства объекта или явления. Необходимо отметить, что при построении математических моделей далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые величины через данные. В таких случаях используются математические методы, позволяющие дать ответы той или иной степени точности.

В случае большого числа параметров, ограничений, возможных вариантов исходных данных модель явления может иметь очень сложное математическое описание (правда, реальное явление еще более сложно), поэтому часто построение математической модели требует упрощения требований задачи. Необходимо выявить самые существенные свойства объекта, явления или процесса, закономерности; внутренние связи, роль отдельных характеристик. Выделив наиболее важные факторы, можно пренебречь менее существенными.

Составить хорошую математическую модель задачи непросто. Всякое явление природы бесконечно в своей сложности. Проиллюстрируем это с помощью примера, взятого из книги В.Н. Тростникова «Человек и информация» (М.: «Наука», 1970):

... Обыватель формулирует математику задачу следующим образом: «Сколько времени будет падать камень с высоты 200 метров?» Математик начнет создавать свой вариант задачи приблизительно так: «Будем считать, что камень падает в пустоте и что ускорение силы тяжести 9,8 метра в секунду за секунду. Тогда...»

— Позвольте, — может сказать «заказчик», — меня не устраивает такое упрощение. Я хочу знать точно, сколько времени будет падать камень в реальных условиях, а не в несуществующей пустоте.

— Хорошо, — согласится математик. — Будем считать, что камень имеет сферическую форму и диаметр... Какого примерно он диаметра?

— Около пяти сантиметров. Но он вовсе не сферический, а продолговатый.

— Тогда будем считать, что он имеет форму эллипсоида с полуосями четыре, три и три сантиметра и что он падает так, что большая полуось все время остается вертикальной. Давление воздуха примем равным 760 мм ртутного столба, отсюда найдем плотность воздуха...

Если тот, кто поставил задачу на «человеческом» языке не будет дальше вмешиваться в ход мысли математика, то последний через некоторое время даст численный ответ. Но «потребитель» может возражать по-прежнему: камень на самом деле вовсе не эллипсоидальный, давление воздуха в том месте и в тот момент не было равно 760 мм ртутного столба и т.д.

Что же ответит ему математик? Он ответит, что точное решение реальной задачи вообще невозможно.

Мало того, что форму камня, которая влияет на сопротивление воздуха, невозможно описать никаким математическим уравнением, его вращение в полете также неподвластно математике из-за своей сложности. Далее, воздух не является однородным, так как в результате действия случайных факторов в нем возникают флуктуации колебания плотности. Если пойти ещё глубже, нужно учесть, что по закону всемирного тяготения каждое тело действует на каждое другое тело. Отсюда следует, что даже маятник настенных часов изменяет своим движением траекторию камня.

Короче говоря, если мы всерьез захотим точно исследовать поведение какого-либо предмета, то нам предварительно придется узнать местонахождение и скорость всех остальных предметов Вселенной. А это, разумеется, невозможно…

Итак, создавая математическую модель для решения задачи, нужно:

· выделить предположения, на которых будет основываться математи­ческая модель;

· определить, что считать исходными данными и результатами;

· записать математические соотношения, связывающие результаты с исходными данными.

Для разработки алгоритма необходимо на основании математической модели определить состав, тип и допустимые значения обрабатываемых данных, выбрать способ их использования и способ установки значений.

Выбор типа данных, способов их использования и способ установки значений значительно влияют на структуру алгоритма решения задачи. Неправильныйвыбор типов данных излишне усложняет алгоритм решения задачи, увеличивает время выполнения программы, а неправильный выбор способа использования данных или способа установки их значений усложняет отладку и модификацию программы.

Дата добавления: 2014-01-14