Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Для системы четвертого порядка




.

Критерий устойчивости Гурвица

Приведем теперь критерий устойчивости Гурвица без доказательства.

Для устойчивости линейной системы n- ого порядка необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы Гурвица, составленной по коэффициентам характеристического уравнения данной системы:

В первой строке матрицы пишутся коэффициенты с нечетными индексами, во второй – с четными. Концы строк заполняются нулями, так чтобы матрица имела n столбцов, где n – порядок уравнения системы. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т. д.


Указанные главные определители называются определителями Гурвица и имеют вид:

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен D n =D n -1× an, Поэтому его положительность сводится при D n -1>0 к условию an >0.

С помощью критерия Гурвица удобно проверять устойчивость линейных до четвертого порядка включительно.

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a 0, a 1, a 2.

Для системы третьего порядка характеристическое уравнение имеет вид

,

а условие устойчивости по Гурвицу будет D n -1= D2= a 1 a 2a 0 a 3>0 (n =3), причем остальные неравенства сводятся к требованию положительности коэффициентов a 0, a 1, a 2, a 3.


условием устойчивости по Гурвицу будет положительность всех коэффициентов характеристического уравнения a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 и выполнение неравенства

.

 

Найдем границы устойчивости.

Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет в том случае, когда an =0, по при условии положительности всех определителей Гурвица (кроме последнего).

Колебательная граница устойчивости (пара чисто мнимых корней в характеристическом уравнении) появляется при D n -1=0, если при этом все остальные определители Гурвица положительны.


Пример. Передаточная функция разомкнутой цепи системы имеет вид:

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Коэффициенты его положительны. Условие устойчивости по критерию Гурвица получит вид

, .

Границы устойчивости:

1) an =0, K =0; 2) D n -1=0, Kгр =1/ T 1+1/ T 2.

Эти две границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметра K и найти области устойчивости системы.

Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости – точки на ней: K =0 и K = Kгр. Область устойчивости лежит между этими точками.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 1396; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.