L , l ( l , p )

L f, д р

В А С в А С

А АВ, в АС

А А В а А В

(m n) (l, p):

Рис. 21

Утворення поверхонь

Існує багато визначень поверхні. Наприклад, крива поверхня визначається як неперервна двопараметрична множина точок, або однопараметрична множина ліній. Точки або лінії цих множин називають відповідно точками або лініями каркаса поверхні. Оскільки на кресленні неможливо зобразити всі точки або лінії каркаса поверхні, їх зображують з певним інтервалом, тобто діскретно.

У нарисній геометріі будемо визначати поверхню як неперервний слід рухомої лінії, яка зветься твірною. На кресленні зображують тільки деякі окремі положення твірної, тобто діскретний каркас. Якщо твірна при своєму русі неперервно перетинає якісь інші лінії, що належать поверхні, то ці лінії звуться НАПРЯМНИМИ /рис. 22/. Напрямних може бути одна і більше.

- поверхня

l, і - послідовні положення твірної на поверхні

m, n - напрямні,які належать поверхні і перетинають твірну l у будь-якому її положенні.

Рис. 22

Поверхня вважається заданною на кресленні, якщо за однією проекцією точки, що належить до поверхні, можна визначити другу проекцію цієї точки. При завданні поверхні потрібна мінімальна інформація. Тому на кресленні можна вдаватися за допомогою до так званих ВИЗНАЧАЛЬНИКІВ.

ВИЗНАЧАЛЬНИК поверхні - це сукупність геометричних образів та умов, що дозволяє побудувати на кресленні неперервний каркас поверхні. Запис визначальника складається із трьох частин: шифру поверхні, переліку геометричних образів і переліку умов створення неперервного каркаса поверхні. Наприклад, визначальник прямого кругового конуса має вигляд:

(l, i, S) (l i, l i = S),

де - поверхня конуса;

(l, i, S) - сукупність геометричних образів (l - твірна, i - вісь обертання твірної, S - точка перетину твірної із вісью - вершина конусу), за допомогою яких можна задати неперервний каркас конуса;

(l i, l i - S) - умови побудови каркасу поверхні: l обертається навколо осі і і перетинає вісь і в точці S.

Інженерна та архітектурно-будівельна практика вимагають застосування поверхонь з найпростішими лініями каркасу. Найпростіши лінії - це пряма лінія, коло і взагалі лінії другого порядку. Залежно від форми твірної лінії та закону її неперервного руху можлива систематизація типів поверхонь:

1. лінійчасті поверхні: твірна - пряма лінія;

2. поверхні обертання: утворюються при обертанні будь-якої кривої лінії (твірної) навколо нерухомої осі;

3. циклічні поверхні: твірна - коло;

4. гвинтові поверхні: утворюються гвинтовим рухом будь-якої твірної. Якщо твірна є коло, центр якого ковзає по циліндричній гвинтовій лінії, то поверхня буде зватися гвинтовою циклічною поверхнею.

Наведена класифікація поверхонь відносна, бо деякі поверхні можна вільно віднести і до одного і до іншого типу. Але, не зважаючи на це, систематизація поверхонь корисна і дозволяє значно скоротити час при описуванні поверхні, встановленні її назви і т.д..

Розглянемо деякі з типів поверхонь, найбільш поширених в інженерній та архітектурно - будівельній практиці.

Лінійчасті поверхні

(l, m) (l m, l l)

Рис. 23

а) напрямна m - гладка крива, поверхня - гладка циліндрична

б) напрямна m - ломана, поверхня - складчата циліндрична

Циліндрична (або складчата) - поверхня, утворена неперервним рухом прямої твірної, яка проходить через усі точки направляючої кривої (гладкої або ломаної) і нескінченно віддалену точку, тобто паралельно самій собі. (Рис.23а,б)

Якщо у циліндричній поверхні направляюча m - коло, то твірна утворює циліндр. Таким чином, є окремий випадок циліндричної поверхні. Якщо твірна циліндра перпендикулярна площині кола направляючої, то утворюється прямий круговий циліндр. Конічна (або пірамідальна) утворюється неперервним рухом прямої твірної, яка проходить через усі точки напрямної кривої (гладкої або ломаної) і нерухому точку (вершину). (Рис. 24а,б).

(l, m, S) (l m, l S)

а) напрямна m - гладка крива, поверхня - конічна

б) напрямна m - ломана, поверхня - пірамідальна

Рис. 24

Якщо конічна поверхня має замкнену напрямну, то поверхня буде конусом або пірамідою.

Торс - поверхня, утворена неперервним рухом прямої твірної, яка дотична до деякої просторової кривої (напрямної), що зветься, у цьому випадку, ребром звороту торса.(Рис. 31).

У випадку, коли ребро звороту вироджується у точку (дійсну або нескінченно віддалену), поверхня торсу вироджується у конічну або циліндричну поверхню:

(l, m) (l m)

Циліндричні, конічні та торсові поверхні можна розгорнути на площину, тобто усіма точками суміснити з точками площини без складок та розривів.

Усі інші лінійчасті поверхні на площину не розгортаються і звуться косими лінійчатими поверхнями.

У архітектурно - будівельній практиці коси лінійчаті поверхні застосовуються як поверхні покриття споруд.

У загальному випадку твірна косої лінійчатої поверхні повинна перетинати три напрямних лінії. Поверхня, у якої три мимобіжні прямі напрямні, називається однопорожнинним гіперболоїдом. (Рис. 25)

(l, m, n, f)

(l m, l n, l f)

Рис. 25 m, n, f - мимобіжні напрямні, l - твірна

На рис. 25 для полегшення побудови каркасу поверхні одну з напрямних (напрямну f) задано проецюючою до П, що дає можливість на горизонтальній проекції просто знаходити три точки перетину твірної l з напрямними, а фронтальну проекцію знаходити за проекційною відповідністю.

Якщо напрямну f віддалити у нескінченність, то горизонтальні проекції каркасу твірних l будуть паралельними, а мимобіжні лінії каркасу твірних l у просторі - паралельними до деякої площини S, яка зветься площиною паралелізму. (Рис. 26)

(l, m, n) (l m, l n, l S)

Рис. 26

Лінійчаста поверхня, у якої пряма твірна при неперервному русі перетинає дві мимобіжні прямі напрямні і залишається паралельною до площини паралелізму, називається гіперболічним параболоїдом або косою площиною. (Рис. 26).

Лінійчасті поверхні з трьома напрямними, одна з яких віддалена в нескінченність і замінюється площиною паралелізму, називаються поверхнями Каталана.

Крім гіперболічного параболоїда (косої площини), у якого дві напрямні - мимобіжні прямі, до поверхонь Каталана належать ще й коноїд і циліндроїд.

Коноїд - лінійчата поверхня, утворена неперервним рухом прямої твірної, яка перетинає криву напрямну і пряму напрямну, залишуючись паралельною до площини паралелізму.(Рис. 27).

(l, m, n) (l m, l n, l S)

поверхня коноїда

l - твірна

m - крива напрямна

n - крива напрямна

S - площина паралелізму

Рис. 27

Циліндроїд - лінійчаста поверхня, утворена неперервним рухом прямої твірної, яка перетинає дві криві напрямні і паралельна площині паралелізму. (Рис. 28).

(l, m, n, S) (l m, l n, l S)

- поверхня циліндроїда

m n - крива направляюча

l - пряма твірна

Рис. 28

У архитектурно - будівельній практиці поверхні Каталана застосовуються як поверхні покриття споруд.

Поверхні обертання та гвинтові

У техниці досить поширені так звані поверхні обертання і гвинтові поверхні, що можуть бути лінійчастими і нелінійчастими.

Поверхня обертання утворюється обертовим рухом лінії навколо деякої осі.

Якщо твірна - алгебраїчна крива порядку n, то поверхня обертання має в загальному випадку порядок 2n. В окремому випадку при обертанні кривої другого порядку навколо її осі, маємо поверхню також другого порядку.

Перерізи поверхонь обертання площинами, які проходять через вісь обертання, називаємо меридіанами, а площинами, перпендикулярними до неї - паралелями. Паралелі h та a (рис. 29), по яких дотикаються з поверхнею обертання співвісні з нею внутрішній та зовнішній циліндри, називаємо відповідно горлом і екватором поверхні.

Рис. 29 Рис. 30

На рис. 30 показано еліпсоїд обертання, утворений обертанням еліпса навколо його великої осі.

Меридіан, площина якого паралельна площині проекцій, буде головним.

При побудові обрисів поверхні, вісь якої перпендикулярна площині проекцій, треба мати на увазі, що ними будуть проекції екватору a та головного меридіана b.

Гвинтову поверхню одержуємо гвинтовим рухом лінії. Така поверхня повинна мати не меньше як одну гвинтову напрямну. На рис. 31 показано розгортну гвинтову поверхню - евольвентний гелікоїд,утворений рухом прямої, дотичної до гвинтової лінії.

Рис. 31

На рис. 32 - приклад нерозгортної гвинтової поверхні - похилий (архімедів) гелікоїд, утворений рухом прямої, яка перетинає гвинтову лінію m і (під заданим кутом b) її вісь. Твірна похилого гелікоїда в кожному її положенні паралельна співвісному з гелікоїдом конусу обертання, твірна якого нахилена до осі під кутом b.

Лінійчаті гвинтові поверхні - гелікоїди можуть бути прямими або похилими залежно від кута між віссю і твірною поверхнею.Гелікоїди будуть закритими, якщо їх твірна і вісь перетинаються, відкритими - коли вони мимобіжні.

Рис. 32

Таким чином, поверхня гелікоїда утворюється рухом прямої лінії по двох напрямних. Одна з них - циліндрична гвинтова лінія, друга - вісь гвинтової лінії. Конус визначає третю напрямну умову (додатково до двох напрямних ліній, які вказані вище) (рис. 32).

Побудову поверхні на комплексному кресленні починаємо з побудови гвинтової лінії, горизонтальну проекцію якої (коло) розділяємо на 12 частин і точки ділення (0,1,2,.......,12) переносимо на фронтальну проекцію.

При цьому шаг гвинтової лінії h також ділимо на 12 частин. Побудувавши напрямний конус гелікоїда з вершиною в точці S(S,S) та кутом b, проводимо ряд його твірних. Твірні гелікоїда проводимо потім через точки 0,1,2......12 гвинтової лінії паралельно відповідним твірним конуса. Кожна наступна твірна здійснює поступальний рух подовж осі на величину h: 12. Обрис гелікоїда на фронтальній площині проекцій одержується як обгинаюча сімейства прямих (твірних).

На рис. 33 показаний прямий гелікоїд. Прямі гелікоїди належать до коноїдів, які використовуються при виготовленні різьби, в шнеках, гвинтових східцях, пандусах. Прямі гелікоїди утворюються шляхом руху твірної по двох напрямних. Одна з них - циліндрична гвинтова лінія a, друга - вісь гвинтової лінії і. В кожному із своїх положень твірна залишається паралельною площині паралелізму, яка буде перпендикулярною до осі гвинтової лінії.

Рис.33

Дата добавления: 2014-01-14