Свойства плотности распределения вероятностей

Свойство 1. .

Доказательство следует из того, что есть предел отношения неотрицательной величины к положительной величине:

.

Или из того, что – неубывающая функция своих аргументов.

Свойство 2. Вероятность попадания двумерной случайной величины в область равна . (22.2)

Доказательство. Согласно формуле (22.1) для любой точки имеем право записать приближенное равенство для значения вероятности попадания в прямоугольник : .

Пусть произвольная область . Обозначим событие, состоящее в попадании случайной точки в область D, так: .

Разобъём область прямыми, параллельными осям координат на п прямоугольников со сторонами и . Для простоты будем полагать, что эти прямые пересекают границу области D не более, чем в двух точках. Так как события, состоящие в попадании случайной точки в прямоугольники , несовместны, то вероятность попадания в область D может быть приближённо выражена формулой:

Переходя к пределу при и , получим .

Замечание 4. Геометрически равенство (22.2) можно истолковать так: вероятность попадания случайной точки в область D равна объёму тела, ограниченного сверху поверхностью плотности распределения , основанием которого является проекция этой поверхности на плоскость ОХУ.

Замечание 5. Выражение называют элементом вероятности. Элемент вероятности определяет вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и .

Свойство 3. Интегральная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через её плотность вероятности по формуле: . (22.3)

Доказательство непосредственно следует из определения дифференциальной функции распределения.

Свойство 4. .

Доказательство. Двойной несобственный интеграл есть вероятность попадания случайной точки в . Событие является достоверным. Поэтому .

Дата добавления: 2014-01-14