Свойства математического ожидания и дисперсии для коррелированных случайных величин

Свойство 1. Математическое ожидание произведения двух любых случайных величин может быть вычислено по формуле: .

Доказательство. В силу свойства 4 корреляционного момента имеет место равенство: , тогда .

Следствие. Математическое ожидание двух некоррелированных случайных величин .

Доказательство следует из свойства 1 и того, что для некоррелированных случайных величин .

Замечание 10. Ранее это свойство было сформулировано и доказано только для независимых случайных величин. Теперь выясняется, что в случае двух случайных величин достаточно менее жёсткого требования некоррелированности случайных величин. В случае большего числа сомножителей требование независимости случайных величин должно быть сохранено.

Свойство 2. Дисперсия суммы двух любых случайных величин может быть вычислена по формуле: .

Доказательство. Пусть Z=Х+У. По свойству математического ожидания , поэтому . По определению дисперсии

Замечание 11. Свойство может быть обобщено на любое число слагаемых: , где – корреляционный момент случайных величин и .

Замечание 12. Для некоррелированных и независимых случайных величин .

Дата добавления: 2014-01-14