Решение. Вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме

Ответ.

Вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме.

Многоканальная СМО с отказами

МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Рассмотрим простейшие многоканальные ()модели СМО с пуассоновскими входным потоком и потоком обслуживания, показательным распределением длительностей интервалов между поступлениями требований и длительностей обслуживания.

Пусть плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид:

(5.1)

Где

Плотность распределений длительностей обслуживания имеет вид:

(5.2)

Где

Каналы работают, т.е.

Длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, распределённой по показательному закону.

Конечная цель использования параллельно включённых каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной СМО) скорости обслуживания требований за счёт обслуживания одновременно клиентов.

Граф состояний СМО:

Стационарное решение системы уравнений Колмогорова (4.8) имеет вид:

(5.3)

Формулы (5.3) называют формулами Эрланга.

Вероятность отказа в приёме заявки к обслуживанию:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число каналов, занятых обслуживанием:

Величина характеризует степень загрузки СМО.

Пример 5.4. В вычислительный центр с тремя взаимозаменяемыми ПЭВМ поступает поток задач с интенсивностью 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа. Поток заявок и поток обслуживания являются простейшими. Определить основные характеристики СМО. Выяснить, сколько потребуется ПЭВМ дополнительно, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение. 1) Определим интенсивность потока обслуживания:

2) Приведённая интенсивность потока заявок:

3) Финальные вероятности состояний СМО

4) Вероятность отказа в обслуживании заявки

5) Относительная пропускная способность ВЦ

6) Абсолютная пропускная способность ВЦ

7) Среднее число занятых каналов:

Повышение пропускной способности ВЦ в 2 раза.

3.2. Многоканальная СМО с ожиданием
и неограниченной длиной очереди

Число каналов:

Входящий поток:

Поток обслуживания:

Интенсивность потока обслуживания:

Средняя продолжительность обслуживания одного клиента:

В установившемся режиме финальные вероятности состояний имеют вид:

(5.4)

(5.5)

Решение будет действительным при условии, что

Вероятностные характеристики функционирования такой СМО в стационарном режиме:

Вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании определяются по формулам (5.4), (5.5).

Среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

Среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживании и в очереди)

Средняя продолжительность клиента (заявки) в очереди

Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

Пример 5.5. Механическая мастерская завода с тремя постами выполняет ремонт техники. Поток неисправных машин, прибывающих в мастерскую, является пуассоновским с интенсивностью 2,5 машины в сутки. Среднее время ремонта одной машины распределено по показательному закону и равно 0,5 сут. Другой мастерской на заводе нет. Требуется вычислить основные характеристики работы в СМО в стационарном режиме.

1) Определим интенсивность потока обслуживания:

2) Приведённая интенсивность потока заявок:

Так как

3) Финальные вероятности состояний СМО

4) Вероятность отсутствия очереди в мастерской

5) Среднее число заявок в очереди на обслуживание

6) Среднее число находящихся в системе заявок

7) Средняя продолжительность пребывания машины на обслуживании

8) Средняя продолжительность пребывания машины в мастерской (в системе):

Дата добавления: 2014-01-14